| პროექტის დასახელება: | ალგებრების ჯვარედინა მოდულების ჰომოლოგიები და ახალი ინვარიანტები. |
| მოკლე აღწერა: | პროექტი წარმოადგენს ფუნდამენტურ კვლევას მათემატიკაში, კერძოდ, მნიშვნელოვანი ალგებრული სტრუქტურების - ჯვარედინი მოდულების ჰომოლოგიური თვისებების შესწავლას. დღესდღეობით ჰომოლოგიური ალგებრის მეთოდები გამოიყენება თანამედროვე მათემატიკის პრაქტიკულად ყველა დისციპლინაში. პროექტის მიზანია შეიმუშაოს ახალი გამოყენებები ჯვარედინი მოდულებისთვის, რომლებიც წარმოადგენს ცალად ბმული CW-სივრცის ალგებრულ მოდელებს, რომელთა ჰომოტოპიური ჯგუფები ტრივიალურია ყველა > 2 განზომილებაში. ჯვარედინი მოდულის ზოგადი კონცეფცია სათავეს იღებს უაიტჰედის ნაშრომში 1940-იანი წლების ბოლოს. იქ ჯვარედინი მოდულები იყო ჯგუფების ჯვარედინი მოდულები და მათი დანერგვის დღიდან ისინი მნიშვნელოვან როლს ასრულებდნენ ალგებრულ ტოპოლოგიაში. ასევე გამოკვლეულია სხვადასხვა ალგებრების ჯვარედინი მოდულები (ასოციაციური, ლის, ლაიბნიცის ალგებრები და სხვა). სხვადასხვა ავტორის მიერ, თითოეულ შემთხვევაში ჯვარედინა მოდული განსაზღვრავს მესამე კოჰომოლოგიის ელემენტს და ამიტომ ისინი ასევე მნიშვნელოვან როლს ასრულებენ ჰომოლოგიურ ალგებრაში. წარდგენილ პროექტს ორი განსხვავებული კვლევითი მიმართულება აქვს. პირველი მოიცავს ლაიბნიცის ალგებრების ჯვარედინი მოდულების ლაიბნიცის ჰომოლოგიის თეორიის შემუშავებას, შემდეგ კი, ასოციაციური ალგებრების ჯვარედინი მოდულისთვის ჰოხშილდის, ციკლურ და ლის ჰომოლოგიასთან კავშირის გამოკვლევას. მეორე კვლევის მიმართულება არის ჰომოტოპურად ინვარიანტული ცენტრის აგება ასოციაციური და ლაიბნიცის ალგებრების ჯვარედინი მოდულებისთვის, რომელიც ეფუძნება არსებულ კონსტრუქციებს ჯგუფების და ლის ალგებრების ჯვარედინა მოდულებისათვის, რომელიც (დრინფელდის ცენტრისგან განსხვავებით) იყენებს ჯგუფების ერთ კოციკლებს. |
| ხელმძღვანელი: | ხმალაძე ემზარ |
| მონაწილეები: | |
| საკითხის აქტუალობა: | განხილული პრობლემები და შემოთავაზებული კვლევა განეკუთვნება ჯვარედინი მოდულების ჰომოლოგიური კვლევის ფართო სფეროს. პროექტის მნიშვნელობა განპირობებულია ჯვარედინი მოდულების გადამწყვეტი გამოყენებით მათემატიკის სხვადასხვა მიმართულებებში, რომელთაგან აღვნიშნავთ შემდეგ სამს: 1) ალგებრული ტოპოლოგია: ჯვარედინი მოდულები მნიშვნელოვან როლს თამაშობენ ჰომოტოპიის თეორიაში. საილუსტრაციოდ აღვნიშნავთ სხვადასხვა კლასიფიკაციის ამოცანებს დაბალი განზომილებიანი ჰომოტოპიის ტიპებისათვის და განზოგადებულ ვან კამპენის თეორემას. 2) ჰომოლოგიური ალგებრა: ჯვარედინი მოდულები ასევე მნიშვნელოვან როლს ასრულებენ ალგებრაში, რადგან ნებისმიერი ჯვარედინი მოდული განსაზღვრავს ელემენტს მესამე კოჰომოლოგიაში და, შესაბამისად, მესამე კოჰომოლოგიური ჯგუფის აღწერა შესაძლებელია ჯვარედინი გაფართოებების საშუალებით. 3) კატეგორიის თეორია: ბოლო ხანებში ალგებრული სტრუქტურების კატეგორიზაცია მზარდ როლს თამაშობს ალგებრაში. ჯვარედინი მოდულები არსებითად იგივეა, რაც კატეგორიული ჯგუფები, რომლებსაც უწოდებენ მკაცრ 2-ჯგუფებს, რადგან ისინი არიან კატეგორიული ჯგუფები, რომლებშიც ჯგუფის კანონები მკაცრად სრულდება. ამიტომ ჯგუფებისა და ალგებრების ჯვარედინა მოდულებს უწოდებენ შესაბამისად 2-განზომილებიან ჯგუფებს და 2-განზომილებიან ალგებრებს. |
| მოსალოდნელი სიახლე: | პროექტის განხორციელებისას მოსალოდნელია ორი ამოცანის შესრულება და შესაბამისად ორი სამეცნიერო სტატიისთვის საკმარისი შედეგების მიღება. ამოცანა 1. ჯვარედინა მოდულების ლაიბნიცის და ციკლური ჰომოლოგიების შედარება. აღწერა: გამიზნულია ლაიბნიცის ალგებრების ჯვარედინი მოდულების ლაიბნიცის ჰომოლოგიის თეორიის განვითარება, შემდეგ კი, ასოციაციური ალგებრების ჯვარედინი მოდულისთვის კავშირების გამოკვლევა ჯვარედინი მოდულების (კოსამეულის) ლის ჰომოლოგიასთან და ე. ხმალაძის ერთობლივ ნაშრომში განხილულ ჯვარედინი მოდულების ჰოხშილდის და (კოსამეულის) ციკლურ ჰომოლოგიებთან. ამოცანა 2. ჯვარედინი მოდულების ჰომოტოპურად ინვარიანტული ცენტრების აგება და გამოკვლევა აღწერა: შემოტანილი იქნება ჯვარედინა მოდულების ჰომოტოპურად ინვარიანტული ცენტრის განმარტება ლაიბნიცისა და ასოციაციური ალგებრების შემთხვევას. შესწავლილი იქნება კავშირი დაბალგანზომილებიან ლაიბნიცის და ჰოხშილდის კოჰომოლოგიებთან შესაბამისად. მოსალოდნელია, რომ შედეგები პარალელურად იქნება ჯგუფებისა და ლის ალგებრების შემთხვევის. გარდა ამისა, გამოკვლეული იქნება ახალი ცენტრის კავშირი ჯვარედინი მოდულების ცენტრთან კ. ნორის აზრით, როგორც ლაიბნიცის, ასევე ასოციაციური ალგებრის შემთხვევაში. |
| სავარაუდო გეგმა: | დასახული ორივე ამოცანასთან დაკავშირებული შედეგების მიღება და სტატიების გაფორება განხორციელება სანტიაგო დე კომპოსტელას უნივერსიტეტში ე. ხმალაძის მობილობის პერიოდში, 2023 წლის 1 მაისიდან 29 ივლისამდე. |
| დონორი: | ევროკავშირი |
| გრანტი: | |
| სკოლა/დეპარტამენტი: | მათემატიკის დეპარტამენტი,მათემატიკის ინსტიტუტი |
| დაწყება: | 2023-05-01 |
| დასრულება: | 2023-07-31 |
| მიზნობრიობა: | სამეცნიერო |
| სტატუსი: | დასრულებული |
| შედეგი: | დაფინანსდა |
| პროექტის ღირებულება: | 15,000 ევრო |
| პროექტის პირველადი ხარჯთაღრიცხვა: | |
| პროექტის საბოლოო ხარჯთაღრიცხვა: | |
| დონორისგან მიღებული თანხა: | |
| თანადამფინანსებელი: | |
| თანამშრომლობა/პარტნიორობა: | |
| პუბლიკაცია: | მომზადდება და რეიტინგულ ჟურნალში დასაბეჭდად გაიგზავნება 2 სტატია |
