| პროექტის დასახელება: | შემოსაზღვრული ოპერატორები ჰარდის მარტინგალურ სივრცეებზე |
| მოკლე აღწერა: | ფურიეს მწკრივების კლასიკური თეორიისგან განსხვავებით, რომელიც ფუნქციას შლის უწყვეტ ტალღებად, უოლშის ფუნქციები წარმოადგენს "მართკუთხა ტალღებს". ასეთი ტალღები უკვე ხშირად გამოიყენება სიგნალთა გადაცემის თეორიაში, ფილტრაციის, გამოსახულების გაუმჯობესებისა და ციფრული სიგნალების დამუშავებისთვის. ამ თეორიის განვითარებაზე მნიშვნელოვანი გავლენა მოახდინა ჰარდის სივრცეების კლასიკურმა თეორიამ. არსებობს ბევრი მსგავსება ამ ორ თეორიას შორის, მაგრამ არსებობს განსხვავებებიც, რომელთა უმეტესობაც შეიძლება აიხსნას თანამედროვე აბსტრაქტული ანალიზის ენაზე, რომელიც ორთონორმირებულ სისტემებს შეისწავლის ტოპოლოგიური ჯგუფების თვალთახედვიდან. უოლშის სისტემა წარმოადგენს ისეთ, მნიშვნელოვან მოდელის მაგალითს, რომელზეც შეიძლება გადამოწმდეს და დაისვას უამრავი ჰარმონიული ანალიზის პრობლემა. უოლშის სისტემა იწვევს დიდ ინტერსს ორთონორმირებული სისტემების სპეციალისტებისთვისაც, რადგანაც ის წარმოადგენს შემოსაზღვრული, სრული, ორთონორმირებული სისტემის უმარტივეს მაგალითს. პრობლემატიკა, რომლის განვიხილე ამ პროგრამის ფარგლებში, არის ცენტრალური მათემატიკურ ანალიზში. ისინი მოითხოვენ ტექნიკას, რომელიც უმეტესწილად განვითარდა უკანასკნელი სამი ათეული წლის განმავლობაში. მიუხედავად იმისა, რომ ბევრ პრობლემას გაეცა პასუხი, კიდევ მრავალი მნიშვნელოვანი პრობლემაა დარჩენილი და წარმოიშვა სხვა, ახალი კითხვებიც. სწორედ ამიტომ, მსურს კვლევის გაკეთება ამ თემატიკაში. პროექტი ორიენტირებული იყო შემდეგი, მთავარი თემების კვლევაზე: ერთგანზომილებიანი ვილინკინის სისტემის მიმართ ფეიერის საშუალოების ქვემიმდევრობების შემოსაზღვრულობა მარტინგალურ ჰარდის სივრცეებზე. ერთგანზომილებიანი ვილინკინის სისტემის ფეიერის საშუალოების ქვემიმდევრობების შემოსაზღვრულობის პირობების პოვნა უწყვეტობის მოდულის დახმარებით მარტინგალურ ჰარდის სივრცეებზე. |
| ხელმძღვანელი: | თუთბერიძე გიორგი |
| მონაწილეები: | თუთბერიძე გიორგი,ტეფნაძე გიორგი |
| საკითხის აქტუალობა: | პრობლემატიკა, რომლსაც განვიხილავ მიმდინარე პროექტში, ერთ-ერთი მნიშვნელოვანი ადგილი უკავია მათემატიკურ ანალიზში. კლასიკური ორთონორმირებული სისტემების მიმართ ინტეგრებადი ფუნქციის ფურიეს მწკრივის სხვა და სხვა საშუალოებით შეჯამებადობის საკითხს დიდი ისტორია გააჩნია. ამ მიმართულებით მიღებული შედეგები არსებითად განსაზღვრავდნენ და ახლაც განსაზღვრავენ ფუნქციათა თეორიაში და ჰარმონიულ ანალიზში მთელი რიგი მიმართულებების პრობლემატიკას. დამტკიცებულია არაერთი შესანიშნავი შედეგი კვლევის ისეთ ახალ მიმართულებებში, როგორებიცაა ვეივლეტ ანალიზი, გაბორის თეორია, დროით-სიხშირული ანალიზი, ფურიეს სწრაფი გარდაქმნი, აბსტრაქტული ჰარმონიული ანალიზი და ა.შ. ამის ერთ-ერთი მნიშვნელოვანი მიზეზია ის, რომ ეს სამეცნიერო წინსვლა მნიშვნელოვანია არა მხოლოდ ამ თეორიების განსავითარებლად, არამედ მათი გამოყენების მხრივ მათემატიკაში, პროგრამირებასა და სხვადასხვა სფეროებში. ფურიეს მწკრივების კლასიკური თეორიიის გამოყენებით ფუნქციის იშლება უწყვეტ სინუსოიდურტალღებად. კლასიკური თეორიისგან განსხვავებით, ვილენკინის (უოლშის) ფუნქციები წარმოადგენენს "მართკუთხა ტალღებს". ასეთი ტალღები უკვე ხშირად გამოიყენება ფიზიკაში, ბიოლოგიაში, მედიცინაში, სიგნალთა გადაცემის თეორიაში, ფილტრაციის, გამოსახულების გაუმჯობესების და ციფრული სიგნალების დამუშავებისთვის. ამ მიმართულებების განვითარებისთვის მნიშვნელოვანი გახდა ახალი ორთონორმირებული სისტემების განხილვა, რომელთა შორის ერთ-ერთი აქტუალურია უოლშის სისტემა. ეს ფუნქციები ღებულობენ მხოლოდ ორ მნიშვნელობას, რაც აადვილებს თეორიული შედეგების კომპიუტერულ ალგორითმიზაციას და მათ პრაქტიკაში გამოყენებებს. ვილენკინ-ფურიეს მწკრივების თეორია წარმოადგენს აბსტრაქტული ჰარმონიული ანალიზის ერთ-ერთ მნიშვნელოვან მიმართულებას. ამ თეორიის განვითარებაზე ძლიერი გავლენა მოახდინა ტრიგონომეტრიული მწკრივების კლასიკურმა თეორიამ, სადაც შეისწავლება ორთონორმირებული სისტემები, რომელთა თვისებები ძირითადად განპირობებულია ტოპოლოგიური ჯგუფის სტრუქტურით. უოლშის სისტემა არის მნიშვნელოვანი მოდელი, რომელზეც შეიძლება აბსტრაქტული ანალიზის მრავალი ფუნდამენტალური დებულების ილუსტრირება. ამ პროექტის მიზანია განიხილოს, გამოიყენოს და განავითაროს ამ საინტერესო თეორიის უახლესი შედეგები, რომლებიც დაკავშირებულია თანამედროვე ჰარმონიულ ანალიზთან. კერძოდ, ჩვენ გამოვიკვლევთ ვილენკინ-ფურიეს მწკრივების H_p ნორმებისთვის ზოგიერთ ახალ ჰარდის ტიპის უტოლობებს. |
| მოსალოდნელი სიახლე: | როგორც ცნობილია, ფეიერის საშუალოები არ არის შემოსაზღვრული ჰარდის სივრცეებზე, როცა 0<p<1/2 მაგრამ, ამავე დროს, M_n-ქვემიმდევრობაზე ის შემოსაზღვრულია ყოველი p-თვის. ამ პროექტის ფარგლებშ ჩვენ პასუხი გავეცით კითხვას, თუ რა პირობებს უნდა აკმაყოფილებდეს ნატურალურ რიცხვთა ქვემიმდევრობები, რომ ფეიერის საშუალოები ამ ქვემიმდევრობების გასწვრივ შემოსაზღვრული იყოს ჰარდის სივრცეებზე. გაკეთდა რამდენიმე მოხსენება უცხოეთში და საქართველოში საერთაშორისო კომფერენციებზე და დაიბეჭდა რამდენიმე სამეცნიერო სტატია მაღალ რეიტინგულ ჟურნალებში |
| სავარაუდო გეგმა: | მინიმუმ 2 სამეცნიერო პუბლიკაციის შესრულება. |
| დონორი: | რუსთაველის ფონდი |
| გრანტი: | სამეცნიერო გრანტი |
| სკოლა/დეპარტამენტი: | მათემატიკის ინსტიტუტი |
| დაწყება: | 1900-01-01 |
| დასრულება: | 1900-01-01 |
| მიზნობრიობა: | სამეცნიერო |
| სტატუსი: | დასრულებული |
| შედეგი: | დაფინანსდა |
| პროექტის ღირებულება: | 41200 GEL |
| პროექტის პირველადი ხარჯთაღრიცხვა: | 41200 GEL |
| პროექტის საბოლოო ხარჯთაღრიცხვა: | 41200 GEL |
| დონორისგან მიღებული თანხა: | 41200 GEL |
| თანადამფინანსებელი: | |
| თანამშრომლობა/პარტნიორობა: | ნორვეგიის არქტიკული უნივერსიტეტი, ნარვიკი, ნორვეგია |
| პუბლიკაცია: | დაიბეჭდა 4 სამეცნიერო სტატია მაღალ რეიტინგულ ჟურნალებში |
