| პროექტის დასახელება: | ჰომოლოგიური ალგებრა და ჯვარედინა მოდულების ახალი ინვარიანტები |
| მოკლე აღწერა: | პროექტის მიზანია ჰომოლოგიური ალგებრის მეთოდების გამოყენებით ჯვარედინა მოდულების თეორიის შემდგომი განვითარება და ზოგიერთი ჰომოტოპიურად ინვარიანტული ობიექტების აგება. ჯვარედინა მოდულები არიან ისეთი სივრცეების ალგებრული მოდელები, რომელთა ჰომოტოპიის ჯგუფები ნულია ყველგან, გარდა შესაძლოა პირველ და მეორე განზომილებისა. პროექტის მონაწილეებს აქვთ მუშაობის დიდი გამოცდილება ჯვარედინა მოდულებზე. მათ აქვთ გამოქვეყნებული ამ თემაზე 30-ზე მეტი ნაშრომი. პროექტის ერთ-ერთი მთავარი მიზანია ჰომოტოპიურად ინვარიანტული ობიქტების აგება. მაგალითად, ჯგუფთა თეორიის ისეთ მნიშვნელოვან ცნებას, როგორიცაა ჯგუფის ცენტრი, ჯვარედინა მოდულებისთვის აქვს ორი სხვადასხვა განზოგადება. ერთი ეკუთვნის ნორის და მეორე მ. ფირაშვილს. ამათგან ნორის ცენტრი არაა ჰომოტოპიურად ინვარინტული. ჩვენი პროექტის ერთ-ერთი ძირითადი მიმართულება იქნება ჯვარედინა მოდულის ჰომოტოპიურად ინვარიანტული ცენტრის აგება, მისი მთავარი თვისებების შესწავლა და მათი გამოთვლა კლასიკურ ჯგუფებთან დაკავშირებულ ჯვარედიანა მოდულებისთვის. ეს თეორია დაეფუძნება მ. ფირაშვილის შრომას, სადაც სხვა შედეგებთან ერთად ნაჩვენებია, რომ იქ აგებული ცენტრი მჭიდრო კავშირშია მონოიდური კატეგორიის დრინფელდის ცენტრთან. ჩვენი პროექტის ერთ-ერთ-ერთი მიზანი იქნება ჰომოტოპიურად ინვარიანტულ ცენტრის გამოთვლა ზოგიერთი კალსიკური ჯგეფისთვის და მათი დაკავშირება ჯვარედინა მოდულის მაკლასიფიცირებელი სივრცის გოტლიბის ინვარიანტთან. მ. ფირაშვილის კონსტრუქცია (დრინფელდის ცენტრისგან განსხვავებით) ეყრდნობა 1-კოციკლებს, რაც მოგვცემს მისი მოდიფიცირების საშუალებას ლის, ასოციური, ლაიბნიცის, ლის-რაინჰარტის და სხვა ალგებრების ჯვარედინა მოდულებისთვის. პროექტის მეორე მიმართულებაა ჯვარედინა მოდულების (კო)ჰომოლოგიური გამოკვლევები. ამ მიმართულებით ორი მიდგომაა შემოთავზებული. პირველი არის ტოპოლოგიური, ჯვარედინა მოდულის მაკლასიფიცირებელი სივრცის მიხედვით, ხოლო მეორე ალგებრულია და იყენებს კოსამეულებს. ამასთან უკვე არსებულ შრომებში აგებული კოჰომოლოგიების კოეფიეციენტები ძალიან შეზღუდულია. ჩვენი მიზანია მოვხსნათ ეს შეზღუდვები და განვმარტოთ ჯვარედინა მოდულების (კო)ჰომოლოგიები უფრო ზოგადი კოეფიციენტებით, მოვძებნოთ კავშირი ალგებრულ და ტოპოლოგიურ მიდგომებს შორის და ავაგოთ ზუსტი მიმდევრობები დაბალგანზომილებიან (კო)ჰომოლოგიებისთვის, კერძოდ მოვიყვანოთ ჯვარედინა მოდულების ცენტრალური გაფართოებისთვის (ნორის აზრით) განეას წევრის კორექტული გამოთვლა. პროექტის მიზანია ასევე ჯვარედინა მოდულებთან მჭიდროდ დაკავშირებული ბრაუნ-ლოდეს ტენზორული ნამრავლის გამოყენება ჯგუფთა შურის კლასების შესასწავლად. ახლახანს გ. დონაძემ თანაავტორებთან ერთად შეისწავლა არააბელური ტენზორული ნამრავლის ჩაკეტილობა ჯგუფთა გარკვეულ კლასებზე და შეამჩნია ამ თვისების გამოყენების შესაძლებლობა ჯგუფთა თეორიის საკითხებში. კერძოდ, ნაჩვენები იქნა, რომ ასეთი კლასი აუცილებლად არის შურის კლასი. უფრო მეტიც, ხსენებული კლასისთვის შესაძლებელი გახდა ბერის თეორემის განზოგადოება. ამ შედეგმა უკვე უზრუნველყო კლასიკური შურ-ბერის თეორემის განზოგადება სასრულად წარმოქმნილი ჯგუფებისთვის. პროექტის ფარგლებში იგეგმება იგივე მეთოდებით ახალი შურის კლასების შესწავლა ჯგუფებში და მსგავსი შედეგები განზოგადება ლის და ლაიბნიცის ალგებრებისთვის. |
| ხელმძღვანელი: | ფირაშვილი თეიმურაზ |
| მონაწილეები: | დონაძე გურამი,ხმალაძე ემზარ |
| საკითხის აქტუალობა: | პროექტი წარმოადგენს ფუნდამენტურ კვლევას ჰომოლოგიურ ალგებრაში. დღეისთვის ჰომოლოგიური ალგებრის მეთოდები არსებითად გამოიყენება მათემატიკის თითქმის ყველა დარგში. ამ პროექტის მიზანია ახალი გამოყენებების პოვნა ისეთ კლასიკურ დარგში როგორიცაა ჯვარედინა მოდულების თეორია. ჯვარედინა მოდულები არიან ისეთი სივრცეების ალგებრული მოდელები, რომელთა ჰომოტოპიის ჯგუფები ნულია ყველგან, გარდა შესაძლოა პირველ და მეორე განზომილებისა. ჯვარედინა მოდულებს აქვთ ორი ასპექტი, ტოპოლოგიური და ალგებრული. თავის მხრივ ალგებრული მიდგომაც არაერთგვაროვანია და დამოკიდებულია ვსწავლობთ მათ კატეგორიების, თუ 2-კატეგორიების თეორიის თვალსაზრისით. მეორე შემთვევაში, ცნებები უნდა იყვნენ ''ჰომოტოპიურად ინვარიანტული''. მაგალითად, ჯგუფთა თეორიის ისეთ მნიშვნელოვან ცნებას, როგორიცაა ჯგუფის ცენტრი, ჯვარედინა მოდულებისთვის აქვს ორი სხვადასხვა განზოგადება, ერთი ეკუთვნის კ. ნორის და მეორე მ. ფირაშვილს. ამათგან ნორის ცენტრი არაა ჰომოტოპიურად ინვარინტული და ჩვენი პროექტის ერთ-ერთი ძირითადი მიმართულება იქნება ჯვარედინა მოდულის ჰომოტოპიურად ინვარიანტული ცენტრის აგება, მისი მთავარი თვისებების შესწავლა და მათი გამოთვლა კლასიკურ ჯგუფებთან დაკავშირებულ ჯვარედიანა მოდულებისთვის. ეს თეორია დაეფუძნება მ. ფირაშვილის შრომას, რომლის პირველი მონახაზი უკვე არსებობს, სადაც სხვა შედეგებთან ერთად ნაჩვენებია, რომ იქ აგებული ცენტრი მჭიდრო კავშირშია მონოიდური კატეგორიის დრინფელდის ცენტრთან. მეორეს მხრივ, ცენტრის ჰომოტოპიური ინვარიანტობა გვკარნახობს, რომ მას ტოპოლოგიური აზრი უნდა ჰქონდეს. ერთ-ერთი კანდიდატი, რომელთანაც ცენტრი უნდა შედარდეს, არის ჯვარედინა მოდულის მაკლასიფიცირებელი სივრცის გოტლიბის ჯგუფი. ჩვენი პროექტის ერთ-ერთი ამოცანა იქნება ამ კავშირის დადგენა. მ. ფირაშვილის კონსტრუქცია (დრინფელდის ცენტრისგან განსხვავებით) ეყრდნობა 1-კოციკლებს და ადვილად მოდიფიცირდა ლის ალგებრების ჯვარედინა მოდულებისთვის. პროექტის კიდევ ერთი ამოცანა იქნება მსგავსი ობიექტების აგება ჯვარედინა მოდულებისთვის ასოციურ, ლაიბნიცის, ლი-რაინჰარტის და სხვა ალგებრებისთვის. აქ ძალიან გამოგვადგება ე. ხმალაძის მრავალწლიანი გამოცდილება სხვადასხვა ალგებრის ჯვარედინა მოდულების შესწავლაში. პროექტის მეორე მიმართულებაა ჯვარედინა მოდულების (კო)ჰომოლოგიური გამოკვლევები. ამ მიმართულებით რამდენიმე შრომაა დაწერილი. ძირითადად ორი მიდგომაა შემოთავზებული. პირველი არის ტოპოლოგიური, ჯვარედინა მოდულის მაკლასიფიცირებელი სივრცის მიხედვით (ბაუესი, ელისი, დათუაშვილი - თ. ფირაშვილი), ხოლო მეორე ალგებრულია და იყენებს კოსამეულებს (კარასკო-სეგარა-გრანდხეან, გრანდხეან-ლადრა-თ. ფირაშვილი). ამასთან აღნიშნულ შრომებში აგებული კოჰომოლოგიების კოეფიეციენტები ძალიან შეზღუდულია. მაგალითად, როცა ჯვარედინა მოდული არის 1→G სახის, მაშინ კოეფიციენტები არიან არა G-მოდულები, არამედ აბელის ჯგუფები. ჩვენი მიზანია მოვხსნათ ეს შეზღუდვები, განვმარტოთ ჯვარედინა მოდულების (კო)ჰომოლოგიები უფრო ზოგადი კოეფიციენტებით, მოვძებნოთ კავშირი ალგებრულ და ტოპოლოგიურ მიდგომებს შორის და ავაგოთ ზუსტი მიმდევრობები დაბალგანზომილებიან (კო)ჰომოლოგიებისთვის. გარდა ამისა, გამოვიკვლევთ ქვილენის და დვაიერ-კანის შემოთავაზებულ სიმპლიციური რგოლების (კო)ჰომოლოგიებს, რომლებიც ასევე იძლევიან ჯვარედინა მოდულების კოჰომოლოგიებს. |
| მოსალოდნელი სიახლე: | პროექტის ფარგლებში მოსალოდნელია შემდეგი ამოცანების გადაწყვეტა და ექვსი სამეცნიერო სტატიის მომზადება. ამოცანა 1: ჯვარედინა მოდულებისთვის ჰომოტოპიურად ინვარიანტული ცენტრის აგება ასოციური, ლაიბნიცის, ლი-რაინჰარტის და სხვა ალგებრებისთვის. აღწერა: თუ G1 → G0 ჯვარედინა მოდულია ჯგუფების კატეგორიაში, მაშინ მისი ცენტრი მ. ფირაშვილის აზრით არის ჯვარედინა მოდული G1 → Z0, რომელშიც Z0 შედგება წყვილებისაგან (x,f), სადაც x არის G0-ის ელემენტი, ხოლო f : G0 → G1 არის 1-კოციკლი. ამასთან მოითხოვება, რომ ეს წყვილი გარკვეულ პირობებს აკმაყოფილებდეს. ჩვენი მიზანია ვაჩვენოთ, რომ მსგავსი კონსტრუქცია აზრიანია ასოციური, ლაიბნიცის, ლი-რაინჰარტის და სხვა ალგებრებისთვის და დადგინდეს მათი კატეგორიული ბუნება. ამოცანა 2. ჯვარედინა მოდულებისთვის ჰომოტოპიურად ინვარიანტული ცენტრის გამოთვლა. აღწერა: გამოთვლების კუთხით განსაკუთრებული ყურადღება მიექცევა G → Aut(G) ტიპის ჯვარედინა მოდულებს (მათ აღვნიშნავთ AUT(G) სიმბოლოთი), სადაც G გაირბენს ზოგიერთ საყოველთაოდ ცნობილ ჯგუფების კლასს. ასევე განვიხილავთ ზოგიერთი კლასიკური ლის და ასოციური ალგებრების კლასებს. ამ ამოცანის შესრულებისთვის ჩვენ კვლავ ვისარგებლებთ მ. ფირაშვილის შრომაში განვითარებული მეთოდებით. იქ AUT(G) გამოთვლილია, როცა G არის მერვე რიგის დიედრული ჯგუფი D4. ჩვენ ვგეგმავთ გამოვთვალოთ ცენტრი, როცა G არის დიედრული Dn , ან განზოგადებული კვატერნიული Qn ჯგუფი. ამოცანა 3. კავშირი ჯვარედინა მოდულის ჰომოტოპიურად ინვარიანტულ ცენტრსა და მაკლასიფიცირებელი სივრცის გოტლიბის ჯგუფთან. აღწერა: თუ (X, x) არის ბმული სივრცე, ამორჩეული წერტილით, გოტლიბის ჯგუფი G(X, x) არის π1(X, x) ფუნდამენტური ჯგუფის ცენტრის ქვეჯგუფი. სინამდვილეში, ის არის უაიტ-ჰედის ცენტრის ქვეჯგუფიც (ეს უკანასკნელი შედგება π1(X,x) ჯგუფის ცენტრის ისეთი ელემენტებისგან, რომლებიც ტრივიალურად მოქმედებენ მაღალ ჰომოტოპიის ჯგუფებზე). ჩვენი მიზანია ვაჩვენოთ, რომ თუ X არის G ჯვარედინა მოდულის მაკლასიფიცირებელი სივრცე, X=BG, მაშინ უაიტჰედის ცენტრი და გოტლიბის ჯგუფი ემთხვევა ერთმანეთს. ეს მიიღწევა G ჯვარედნა მოდულის ცენტრის მაკლასიფიცირებელი სივრცის დაკავშირებით BG სივრცის თავისთავში უწყვეტი ასახვების სივრცესთან. ამოცანა 4: ჯვარედინა მოდულების სხვადასხვა კოჰომოლოგიების შედარება. აღწერა: აქ პირველი მიზანი იქნება ჯგუფური ალგებრის განზოგადოება ჯვარედინა მოდულებისთვის და მათზე ჩვეულებრივი მოდულების შესწავლა. ჩვენ ავაგებთ ჯვარედინა მოდულების კოჰომოლოგიებს და ჰომოლოგიებს კოეფიციენტებით ასეთ მოდულებში. აქ ჩვენ გამოვიყენებთ იგივე კოსამეულს რაც უკვე იყო გამოყენებული არსებულ ნაშრომებში. ამ ამოცანის დანარჩენი ნაწილი მიეძღვნება ასეთნაირად განმარტებულ კოჰომოლოგიებსა და ჯვარედინა მოდულის მაკლასიფიცირებელი სივრცის (კო)ჰომოლოგიებს შორის კავშირების შესწავლას. ჩვენი ჰიპოთეზაა, რომ თ. ფირაშვილის მიერ უკვე აგებული ზუსტი მიმდევრობა ძალაში იქნება უფრო ზოგადი კოეფიციენტებისთვისაც. ამოცანა 4: ჯვარედინა მოდულების (კო)ჰომოლოგიების ზუსტი მიმდევრობები დაბალ განზომილე-ბებში. აღწერა: კარგადაა ცნობილი, რომ როცა გვაქვს ჯგუფების მოკლე ზუსტი მიმდევრობა, მაშინ იწერება დაბალგანზომილებიანი (კო)ჰომოლოგიური ზუსტი მიმდევრობები. განსაკუთრებით ცნობილია ე. წ. 5-წევრა, 10-წევრა ზუსტი მიმდევრობები, ხოლო ცენტრალური გაფართოებების შემთხვევაში კი 8-წევრა ზუსტი მიმდევრობა, სადაც კრიტიკულ წევრს ჰქვია განეას წევრი. ჯვარედინა მოდულებისთვის მსგავსი შედეგი ცენტრალური გაფართოებებისთვის იყო ანონსირებული (დამტკიცების გარეშე) სტატიაში. ჩვენ ვგეგმავთ ამ სტატიაში (და არა მხოლოდ აქ) მოყვანილი შედეგების დაზუსტებას და მათი დეტალური დამტკიცებების მოყვანას. ამოცანა 5. ჯვარედინა მოდულების (კო)ჰომოლოგიების ზუსტი მიმდევრობები დაბალ განზომილებებში. აღწერა: კარგადაა ცნობილი, რომ როცა გვაქვს ჯგუფების მოკლე ზუსტი მიმდევრობა, მაშინ იწერება დაბალგანზომილებიანი (კო)ჰომოლოგიური ზუსტი მიმდევრობები. განსაკუთრე-ბით ცნობილია ე. წ. 5-წევრა, 10-წევრა ზუსტი მიმდევრობები, ხოლო ცენტრალური გაფართოებების შემთხვევაში კი 8-წევრა ზუსტი მიმდევრობა, სადაც კრიტიკულ წევრს ჰქვია განეას წევრი. ჯვარედინა მოდულებისთვის მსგავსი შედეგი ცენტრალური გაფართოებებისთვის იყო ანონსირებული (დამტკიცების გარეშე) სტატიაში. ჩვენ ვგეგმავთ ამ სტატიაში (და არა მხოლოდ აქ) მოყვანილი შედეგების დაზუსტებას და მათი დეტალური დამტკიცებების მოყვანას. ეს შრომა დაეყრდნობა ამოცანა 4-ში მიღებულ შედეგებს. ამოცანა 6. არააბელური ტენზორული ნამრავლის გამოყენება შურის კლასების შესასწავლად. აღწერა: შურის კლასების გამოკვლევა წარმოადგენს ჯგუფთა თეორიის ერთ-ერთ საინტერესო საკითხს. ჩვენ ამ პრობლემას მივუდგებით არააბელური ტენზორული ნამრავლის გამოყენებით. კერძოდ, ჩვენი მიზანია აღმოვაჩინოთ ჯგუფთა ახალი კლასები, რომლებიც ჩაკეტილია ტენზორული კვადრატის მიმართ. ამ შემთხვევაში შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ხსენებული კლასი არის შურის კლასი. უფრო მეტიც, ჩვენ შევეცდებით აღმოვაჩინოთ ჯგუფთა ისეთი კლასებიც, რომელთა მიმართ ნებისმიერი ტენზორული ხარისხი არის ჩაკეტილი. ამ უკანასკნელზე ჩვენ შევძლებთ ბერის თეორემის განზოგადოებას . ამავდროულად, მოსალოდნელია ანალოგიური შედეგების მიღება ლის და ლაიბნიცის ალგებრებისთვის. |
| სავარაუდო გეგმა: | 2023 წელი ამოცანა 1: ჯვარედინა მოდულებისთვის ჰომოტოპიურად ინვარიანტული ცენტრის აგება ასოციური, ლაიბნიცის, ლი-რაინჰარტის და სხვა ალგებრებისთვის. ამოცანა 4. ჯვარედინა მოდულების სხვადასხვა კოჰომოლოგიების შედარება 2024 წელი ამოცანა 2. ჯვარედინა მოდულებისთვის ჰომოტოპიურად ინვარიანტული ცენტრის გამოთვლა. ამოცანა 5. ჯვარედინა მოდულების (კო)ჰომოლოგიების ზუსტი მიმდევრობები დაბალ განზომილებებში. 2025 წელი ამოცანა 3. ჰომოტოპიურად ინვარიანტულ ცენტრი და გოტლიბის ჯგუფი ამოცანა 6. არააბელური ტენზორული ნამრავლის გამოყენება შურის კლასების შესასწავლად. |
| დონორი: | რუსთაველის ფონდი |
| გრანტი: | ფუნდამენტური კვლევები |
| სკოლა/დეპარტამენტი: | მათემატიკის დეპარტამენტი,მათემატიკის ინსტიტუტი |
| დაწყება: | 2023-02-23 |
| დასრულება: | 2026-02-23 |
| მიზნობრიობა: | სამეცნიერო |
| სტატუსი: | მიმდინარე |
| შედეგი: | დაფინანსდა |
| პროექტის ღირებულება: | 240,000 ლარი |
| პროექტის პირველადი ხარჯთაღრიცხვა: | |
| პროექტის საბოლოო ხარჯთაღრიცხვა: | |
| დონორისგან მიღებული თანხა: | 80000 |
| თანადამფინანსებელი: | |
| თანამშრომლობა/პარტნიორობა: | |
| პუბლიკაცია: | მომზადდება და რეიტინგულ ჟურნალებში დასაბეჭდად გაიგზავნება 6 სტატია |
