| პროექტის დასახელება: | ფუნქციათა სივრცეები, და კლასიკური ინტეგრალური ოპერატორები ლოკალურად კომპაქტურ აბელის ჯგუფებზე |
| მოკლე აღწერა: | პროექტი ორიენტირებულია შემდეგი თემების კვლევებზე: a) ვიპოვოთ ისეთი აუცილებელი და საკმარისი პირობები ფუნქციების უწყვეტობის მოდულებისთვის მარტინგალურ და კლასიკურ ჰარდის სივრცეებში, რომლებიც უზრუნველყოფენ, შესაბამისად, n-განზომილებიანი უოლშის და ტრიგონომეტრიული სისტემების მიმართ კერძო ჯამების შემოსაზღვრულობას ამავე სივრცეების ნორმით, როდესაც b) n-განზომილებიანი უოლშის და ტრიგონომეტრიული სისტემების მიმართ კერძო ჯამების ძლიერად შეჯამებადობის თეორემები შესაბამისად მარტინგალური და კლასიკური ჰარდის სივრცეების შემთხვევაში, იმ შემთხვევაში როდესაც და როდესაც კერძო ჯამების იდექსებზე არ გვაქვს შეზღუდვა ან კიდევ გვაქვს კონკრეტული შეზღუდვები. c) -მულტიპლიკატორების ახალი კლასი პირველი გვარის წყვეტით ლოკალურად კომპაქტურ აბელის (ლკა) ჯგუფებზე (სტეჩკინის ტიპის თეორემა და ჰერმანდერის ტიპის უტოლობები); d) ფრედჰოლმის თეორია და ამოხსნადობის თვისებები კონვოლუციის განტოლებებისათვის ლებეგის და ბესელის პოტენციალთა სივრცეებში ლოკალურად კომპაქტურ აბელის ჯგუფებზე. პრობლემატიკას, რომლის განხილვასაც ვგეგმავთ მიმდინარე პროექტში არის მეტად მნიშვნელოვანი მათემატიკურ ანალიზსა და მის გამოყენებებში. ისინი მოითხოვენ ტექნიკას, რომელიც უმეტესწილად განვითარდა უკანასკნელი ოთხი ათეული წლის განმავლობაში. დამტკიცდა ბევრი განსაკუთრებით საინტერესო შედეგი და წარმოიშვა კვლევის ახალი მიმართულებები, როგორიცაა ვეივლეტების თეორია, გაბორის თეორია, დროითი სიხშირის ანალიზი, ფურიეს სწრაფი გარდაქმნის თეორია, მულტიპლიკატორების თეორია, კონვოლუციის განტოლებების თეორია წყვეტილი სიმბოლოებით, ფსევდოდიფერენციალური განტოლებებისა და სხვა. უნდა აღინიშნოს, რომ ეს შედეგები მნიშვნელოვანია არა მხოლოდ ამ თეორიების განვითარებისთვის, არამედ მათი უამრავი გამოყენებისათვის მათემატიკასა და მათემატიკური ფიზიკის სხვადასხვა სფეროებში (მაგ: სიგნალების გადაცემის თეორია, მულტიპლექსირება, ფილტრაცია, გამოსახულების ამოცნობის თეორია, კოდირების თეორია, ციფრული სიგნალების კოდირება, გამოსახულების დამუშავება, ელექტრომაგნიტური ველების გაბნევა, დრეკადობის თეორია). არსებობს მჭიდრო კავშირი ყველა ზემოთ ჩამოთვლილ თემებს შორის. საპროექტო წინადადების მიზნებისა და ამოცანების გათვალისწინებით ფართოდ იქნება გამოყენებული ნამდვილი და კომპლექსური, ასევე აბსტრაქტული და არაწრფივი ჰარმონიული ანალიზის მეთოდები, ოპერატორების თეორია, ლოკალურად კომპაქტური აბელის ჯგუფების და ბანახის ალგებრების თეორიები. |
| ხელმძღვანელი: | ტეფნაძე გიორგი |
| მონაწილეები: | დუდუჩავა როლანდ,თუთბერიძე გიორგი,ნადირაშვილი ნატო,ტეფნაძე გიორგი,ცაავა მედეა |
| საკითხის აქტუალობა: | პრობლემატიკა, რომლის განხილვასაც ვგეგმავთ მიმდინარე პროექტში, არის ცენტრალური მათემატიკურ ანალიზსა და მის გამოყენებებში. ისინი მოითხოვენ ტექნიკას, რომელიც უმეტესწილად განვითარდა უკანასკნელი ოთხი ათეული წლის განმავლობაში. დამტკიცდა განსაკუთრებით მნიშვნელოვანი თეორემები და წარმოიშვა კვლევის ახალი მიმართულებები, მაგალითად ვეივლეტების თეორია, გაბორის თეორია, დროითი სიხშირის ანალიზი, ფურიეს სწრაფი გარდაქმნა, მულტიპლიკატორების თეორია, კონვოლუციის განტოლებების თეორია წყვეტილი სიმბოლოებით, ფსევდოდიფერენციალური განტოლებების თეორია და სხვა. უნდა აღინიშნოს, რომ ეს განვითარება მნიშვნელოვანია არა მხოლოდ თვით თეორიის საჭიროებისათვის, არამედ მნიშვნელოვანია მისი გამოყენებების თვალსაზრისითაც მათემატიკასა და მათემატიკური ფიზიკის სფეროებში, ასევე გამოყენებით მეცნიერებებში, როგორებიცაა მაგალითად სიგნალების გადაცემა, მულტიპლექსირება, ფილტრაცია, გამოსახულების ამოცნობა, კოდირების თეორია, ციფრული სიგნალების კოდირება, გამოსახულების დამუშავება, ელექტრომაგნიტური ტალღების გავრცელება, დრეკადობის თეორია და სხვა. მარტინგალური ჰარდის სივრცეების თეორიის განვითარებაზე მნიშვნელოვანი ზეგავლენა მოახდინა კლასიკურმა თეორიამ. უმეტესი განსხვავებები ამ ორ თეორიას შორის შეიძლება აიხსნას თანამედროვე ჰარმონიული ანალიზის მეშვეობით, რომელიც ანალოგიურ პრობლემებს განიხილავს ტოპოლოგიური ჯგუფის სტრუქტურის თვალთახედვიდან. ამ თვალთახვედვამ ხელი შეუწყო მარტინგალური ჰარდის სივრცეების ლოკალურად კომპაქტურ აბელის ჯგუფებზე გადატანას, რაც წარმოადგენს ახალ მიმართულებას, მაგრამ ის ასევე წარმოადგენს მნიშვნელოვან მოდელს, რომელზეც შეიძლება შემოწმდეს აბსტრაქტული ჰარმონიული ანალიზის ბევრი პრობლემა. ამის გამო, ძნელია გადააფასო აღნიშნულ თეორიაში მიღებული შედეგების შედარების მნიშვნელობა შედეგებთან, რომლებიც ცნობილია კლასიკურ ჰარდის სივრცეებისათვის. რამდენიმე ათწლეულის განმავლობაში ეს თეორია სწორედ ამ გზით ვითარდებოდა და მიღებული იქნა ბევრი ახალი შედეგი. უფრო მეტიც, მარტინგალური ჰარდის სივრცეების ზოგიერთი ახალი შედეგი ჯერ კიდევ გადაუჭრელი პრობლემაა კლასიკურ შემთხვევებში. ყოველივე ამის გათვალისწინებით ჩვენ წავალთ საპირისპირო მიმართულებით და შევეცდებით მარტინგალური ჰარდის სივრცეებისათვის მიღებული შედეგები გადავიტანოთ ჰარდის კლასიკურ სივრცეებში. საპროექტო წინადადების ის ნაწილი, რომელიც დაკავშირებულია ჰარდის სივრცეებთან, წარმოადგენს ორი შვედური (№ 24155/2016, №10374_2015) და ერთი ქართული (№ YS15_2.1.1_47) პროექტის ბუნებრივ გაგრძელებას, რომლებიც დაფინანსდა შვედეთის ინსტიტუტისა და შოთა რუსთაველის ეროვნული სამეცნიერო ფონდის მიერ. მიუხედავად იმისა, რომ ბევრ პრობლემას გაეცა პასუხი, ჯერ კიდევ დარჩენილია რამდენიმე მნიშვნელოვანი პრობლემა და წარმოიშვა სხვა ახალი კითხვებიც. სწორედ ამიტომ ახალი პროექტის ფარგლებში გვსურს გავაგრძელოთ დაწყებული ნაყოფიერი და წარმატებული კვლევა და განვიხილოთ ანალოგიური პრობლემატიკა კლასიკურ ჰარდის სივრცეებში. დაგეგმილი კვლევები არ წარმოადგენს ძველი კვლევების ტრივიალურ განზოგადებას და ზოგიერთ შემთხვევაში მოითხოვს მარტინგალური ჰარდის სივრცეების მეთოდებისგან აბსოლუტურად განსხვავებულ კომპლექსური ანალიზის აპარატის გამოყენებას. სხვადასხვა სახის სასაზღვრო ამოცანების გამოკვლევა კერძოწარმოებულიანი დიფერენციალური განტოლებებისათვის დაიყვანება ფურიესა და მელინის ტიპის კონვოლუციის განტოლებებზე. ზოგიერ მათგანს გააჩნია წყვეტილი სიმბოლოები, რაც წარმოადგენს ინტეგრალური განტოლების ბირთვის ფურიეს და მელინის გარდაქმნას (სასაზღვრო ამოცანები ბზარის ამოცანებისთვის ელასტიურ გარემოში, გაძლიერებული ფირფიტები, მაქსველის სისტემა და ჰელმჰოლცის განტოლება (ანუ ელექტრომაგნიტური ტალღების გავრცელება, კოში-რიმანის სისტემა, კარლემან-ვეკუას სისტემები განზოგადოებულ ანალიზურ ფუნქციათა თეორიაში და სასაზღვრო ამოცანები კერძოწარმოებულიანი დიფერენციალური განტოლებისათვის ლიფშიცის საზღვრით და ა.შ.). მათ გამოსაკვლევად განვითარებულ იქნა ფურიესა და მელინის კონვოლუციის განტოლებათა თეორია ლებეგისა და ბესელის პოტენციალთა სივრცეებში. ორივე ზემოთხსენებული კონვოლუციის განტოლებები შეიძლება განიმარტოს, როგორც კონვოლუცია ლოკალურად კომპაქტურ აბელის ჯგუფებზე - ნამდვილ ღერძზე და ნადვილ ნახევარღერძზე . პროექტის ფარგლებში გამოკვლეული იქნება კონვოლუციის განტოლებები უმეტესად არაგლუვი სიმბოლოებით ზოგად ლოკალურად კომპაქტურ აბელის ჯგუფებზე, რათა აღიწეროს კონვოლუციის განტოლებების ახალი კლასი, რომლებიც საინტეერესოა მათემატიკური თვალსაზრისით და გამოყენებებში. ჩვენი მიზანია განვავითაროთ ამ განტოლებათა ფრედჰოლმის თეორია და აღვწეროთ ამოხსნადობის თვისებები. |
| მოსალოდნელი სიახლე: | პრობლემატიკას, რომლის განხილვასაც ვგეგმავთ მიმდინარე პროექტში არის მეტად მნიშვნელოვანი მათემატიკურ ანალიზსა და მის გამოყენებებში. ისინი მოითხოვენ ტექნიკას, რომელიც უმეტესწილად განვითარდა უკანასკნელი ოთხი ათეული წლის განმავლობაში. დამტკიცდა ბევრი განსაკუთრებით საინტერესო შედეგი და წარმოიშვა კვლევის ახალი მიმართულებები, როგორიცაა ვეივლეტების თეორია, გაბორის თეორია, დროითი სიხშირის ანალიზი, ფურიეს სწრაფი გარდაქმნის თეორია, მულტიპლიკატორების თეორია, კონვოლუციის განტოლებების თეორია წყვეტილი სიმბოლოებით, ფსევდოდიფერენციალური განტოლებებისა და სხვა. უნდა აღინიშნოს, რომ ეს შედეგები მნიშვნელოვანია არა მხოლოდ ამ თეორიების განვითარებისთვის, არამედ მათი უამრავი გამოყენებისათვის მათემატიკასა და მათემატიკური ფიზიკის სხვადასხვა სფეროებში (მაგ: სიგნალების გადაცემის თეორია, მულტიპლექსირება, ფილტრაცია, გამოსახულების ამოცნობის თეორია, კოდირების თეორია, ციფრული სიგნალების კოდირება, გამოსახულების დამუშავება, ელექტრომაგნიტური ველების გაბნევა, დრეკადობის თეორია). არსებობს მჭიდრო კავშირი ყველა ზემოთ ჩამოთვლილ თემებს შორის. საპროექტო წინადადების მიზნებისა და ამოცანების გათვალისწინებით ფართოდ იქნება გამოყენებული ნამდვილი და კომპლექსური, ასევე აბსტრაქტული და არაწრფივი ჰარმონიული ანალიზის მეთოდები, ოპერატორების თეორია, ლოკალურად კომპაქტური აბელის ჯგუფების და ბანახის ალგებრების თეორიები. |
| სავარაუდო გეგმა: | მინიმუმ 8 სამეცნიერო პუბლიკაციის შესრულება, რომელთაგან 2 პირველი საანგარიშო პერიოდის ფარგლებში დაიბეჭდება, 3 მეორე საანგარიშო პერიოდის განმავლობაში, ხოლო 3 მესამე საანგარიშო პერიოდის განმავლობაში. |
| დონორი: | რუსთაველის ფონდი |
| გრანტი: | ფუნდამენტური კვლევები |
| სკოლა/დეპარტამენტი: | მათემატიკის ინსტიტუტი |
| დაწყება: | 1900-01-01 |
| დასრულება: | 1900-01-01 |
| მიზნობრიობა: | სამეცნიერო |
| სტატუსი: | დასრულებული |
| შედეგი: | დაფინანსდა |
| პროექტის ღირებულება: | 234000 GEL |
| პროექტის პირველადი ხარჯთაღრიცხვა: | 234000 GEL |
| პროექტის საბოლოო ხარჯთაღრიცხვა: | 234000 GEL |
| დონორისგან მიღებული თანხა: | 234000 GEL |
| თანადამფინანსებელი: | |
| თანამშრომლობა/პარტნიორობა: | კალიფორნიის უნივერსიტეტი, აშშ და ნორვეგიის არქტიკული უნივერსიტეტი, ნარვიკი, ნორვეგია |
| პუბლიკაცია: | 8 სამეციერო პუბლიკაციის შესრულება რომლებიც დაიბეჭდება საერთაშორისო ჟურნალებში. |
