| პროექტის დასახელება: | შერეული სასაზღვრო ამოცანები კუთხოვან არეში |
| მოკლე აღწერა: | პრობლემატიკას, რომელთა დამუშავებას ისახავს მიზნად მოცემული პროექტი, მნიშვნელოვანი ადგილი უკავია როგორც დრეკადობის თეორიის ამოცანებში, ასევე კერძოწარმოებულიანი დიფერენციალური განტოლებების გამოკვლევებში. მათემატიკური ფიზიკის მრავალი ამოცანა, მაგალითად, დრეკადი სხეულის დეფორმაცის და ბზარების წარმოშობა/განვითარების, თხელი გარსის მდგრადობის ამოცანები, ელექტომაგნიტური ტალღების გაბნევა ზედაპირების მიერ და სხვა ყალიბდება სასაზღვრო ამოცანების სახით ელიფსური კერძოწარმოებულიანი დიფერენციალური განტოლებისათვის ბრტყელ არეებში. განსაკუთრებით რთულია და მნიშვნელოვანი ასეთი ამოცანების გამოკვლევა არეებში კუთხოვანი საზღვრით. ასეთი სასაზღვრო ამოცანები კუთხოვან არეები (არეებში ლიფშიცის საზღვრით) ლოკალიზაციის მეთოდით დაიყვანება ექვივალენტურ მოდელურ ამოცანებზე ბრტყელ კუთხეებში. მოდელური ამოცანები პოტენციალთა მეთოდის საშუალებით დაიყვანება სასაზღვრო ინტეგრალურ განტოლებაზე ნახევარღერძზე, რომელიც წარმოადგენს მელინის კონვოლუციის განტოლებას (განტოლებას უძრავი სინგულარობით) მერომორფული ბირთვით (იხ. [DD16]). ხდება მიღებული განტოლების ამოხსნადობის სრული გამოკვლევა, რაც საშუალებას გვაძლებს გავაკეთოთ დასკვნები საწყისი სასაზღვრო ამოცანის ცალსახად ამოხსნადობისა და ამონახსნის თვისებების შესახებ. პრობლემატიკას, რომლის განხილვასაც ვგეგმავთ მიმდინარე პროექტში, წარმოადგენს ერთერთ აქტუალურ საკითხს მათემატიკური ფიზიკის ამოცანების შესწავლაში. ტექნიკა, რომელიც გამოიყენება პრობლემის გადაჭრაში, განვითარდა უკანასკნელი წლების განმავლობაში პროფესორების დუდუჩავასა და დიდენკოს მიერ (მელინის კონვოლუციის ოპერატორები გამოკვლევის შედეგად ბესელის პოტენციალთა სივრცეებში). სწორედ ამ ტექნიკის გამოყენებით დავამტკიცეთ ლაპლას-ბელტრამისა და ბი–ლაპლას–ბელტრამის განტოლებებისათვის შერეული სასაზღვრო პირობებით ამონახსნის არსებობა და ერთადერთობა როგორც სუსტი კლასიკური, ასევე არაკლასიკური დასმით. მიღებული შედეგები გამოქვეყნებულია პრესტიჟულ სამეცნიერო ჟურნალებში, მათ შორის მაღალრეიტინგულ იმპაქტ–ფატქორიან ჟურნალში, როგორიცაა „Complex Variables and Elliptic Equations“ . |
| ხელმძღვანელი: | ცაავა მედეა |
| მონაწილეები: | |
| საკითხის აქტუალობა: | სასაზღვრო ამოცანები ლამეს და გარსის განტოლებისათვის არაკლასიკური დასმით არეებში და ზედაპირებზე ლიფშიცის საზღვრით ან საერთოდ არ არის გამოკვლეული ან კიდევ არასრულად (ფრედჰოლმურობის აუცილებელი და საკმარისი პირობები არ არის ცნობილი საერთოდ). ჩვენი კვლევა შეავსებს ამ ხარვეზს. სასაზღვრო ამოცანები ლამეს და თხელი გარსის განტოლებებისათვის წარმოადგენს ძირითად იარაღს დრეკადი სხეულების თვისებების გამოსაკვლევად და ამ ამოცანებს იკვლევენ ინტენსიურად მრავალი სამეცნიერო ცენტრები. თავის მხრივ, კვლევის შედეგები ხშირად გამოიყენება პრაქტიკული ამოცანების გადასაწყვეტად, როგორიცაა საფრენი აპარატების დაპროექტება, კაშხლების მშენებლობა, დიდი ფართობის მქონე გადახურვების დაპროექტება და ა.შ. მიღებული შედეგების დისემინაციის მიზნით გათვალისწინებულია მათი გამოქვეყნება მაღალრეიტინგულ ჟურნალებში და შედეგების მოხსენება რამდენიმე საერთაშორისო ღონისძიებაზე. |
| მოსალოდნელი სიახლე: | პროექტში განხილული იქნება ლამეს განტოლება დირიხლეს, ნეიმანის და შერეული ტიპის სასაზღვრო პირობებით არაკლასიკური დასმით გაშლის მქონე კუთხოვან არეში სობოლევ-სლობოდეცკისა და ბესელის პოტენციალთა სივრცეებში. შემთხვევა დირიხლეს და ნეიმანის ამოცანებისთვის უკვე კარგად არის ცნობილი (გლუვი საზღვრის შემთხვევა), ხოლო როგორც დირიხლეს და ნეიმანის, ასევე შერეული სასაზღვრო ამოცანა არაკლასიკური დასმით არ არის გამოკვეული კუთხისთვის. მიღებულ შედეგებზე დაყრდნობით და კვაზილოკალიზაციის გამოყენებით მოხდება ანალოგიური დირიხლეს, ნეიმანის და შერეული ტიპის სასაზღვრო ამოცანების გამოკვლევა ლამეს და თხელი გარსის განტოლებებისათვის ჰიპერზედაპირზე ლიფშცის საზღვრით არაკლასიკური დასმით. |
| სავარაუდო გეგმა: | 2023 წელს ვგეგმავ: o ფუნდამენტური ამონახსნის, ფენოვანი პოტენციალების და ამონახსნის წარმოდგენის ფორმულის ჩაწერას ლამეს განტოლებისათვის შერეული სასაზღვრო პირობებით ბრტყელი კუთხისა და ჰიპერზედაპირის შემთხვევაში. o სასაზღვრო ამოცანის დაყვანას ექვივალენტურ სასაზღვრო ინტეგრალურ განტოლებათა სისტემაზე და მის ჩაწერას მელინის კონვოლუციის ოპერატორების საშუალებით. o მელინის კონვოლუციის ოპერატორების საშუალებით ჩაწერილი განტოლებათა სისტემისთვის სიმბოლოს დაწერას და მისი ელიფსურობის დადგენა არაკლასიკური დასმით. ინდექსის ფორმულის დაწერას. o სტატიის მომზადებას ლამეს განტოლებაზე დირიხლეს სასაზღვრო პირობით 2024 წელს ვგეგმავ: o სტატიის გამოქვეყნებას ლამეს განტოლებაზე დირიხლეს სასაზღვრო პირობით. o სტატიის მომზადებას ლამეს განტოლებაზე ნეიმანის სასაზღვრო პირობით. 2025 წელს ვგეგმავ: o სტატიის გამოქვეყნებას ლამეს განტოლებაზე ნეიმანის სასაზღვრო პირობით. o სტატიის მომზადებას და გამოსაქვეყნებლად წარდგენას ლამეს განტოლებაზე შერეული სასაზღვრო პირობით. |
| დონორი: | |
| გრანტი: | |
| სკოლა/დეპარტამენტი: | მათემატიკის ინსტიტუტი |
| დაწყება: | 2023-01-01 |
| დასრულება: | 2025-12-31 |
| მიზნობრიობა: | სამეცნიერო |
| სტატუსი: | მიმდინარე |
| შედეგი: | |
| პროექტის ღირებულება: | |
| პროექტის პირველადი ხარჯთაღრიცხვა: | |
| პროექტის საბოლოო ხარჯთაღრიცხვა: | |
| დონორისგან მიღებული თანხა: | |
| თანადამფინანსებელი: | |
| თანამშრომლობა/პარტნიორობა: | |
| პუბლიკაცია: | 3 წლის განმავლობაში პროექტის ფარგლებში მომზადდება3 სტატია, რომელიც გაეგზავნება მაღალრეიტინგულ ჟურნალებს გამოსაქვეყნებლად. |
