| პროექტის დასახელება: | ფუნქციათა სივრცეები და ინტეგრალური ოპერატორები ლის ჯგუფებზე |
| მოკლე აღწერა: | პრობლემატიკა, რომლის განხილვასაც ვგეგმავთ მიმდინარე პროექტში, არის ცენტრალური მათემატიკურ ანალიზსა და მის გამოყენებებში. ისინი მოითხოვენ ტექნიკას, რომელიც უმეტესწილად განვითარდა უკანასკნელი ოთხი ათეული წლის განმავლობაში. დამტკიცდა განსაკუთრებით მნიშვნელოვანი თეორემები და წარმოიშვა კვლევის ახალი მიმართულებები, მაგალითად ვეივლეტების თეორია, გაბორის თეორია, დროითი სიხშირის ანალიზი, ფურიეს სწრაფი გარდაქმნა, მულტიპლიკატორების თეორია, კონვოლუციის განტოლებების თეორია წყვეტილი სიმბოლოებით, ფსევდოდიფერენციალური განტოლებების თეორია და სხვა. უნდა აღინიშნოს, რომ ეს განვითარება მნიშვნელოვანია არა მხოლოდ თვით თეორიის საჭიროებისათვის, არამედ მნიშვნელოვანია მისი გამოყენებების თვალსაზრისითაც მათემატიკასა და მათემატიკური ფიზიკის სფეროებში, ასევე გამოყენებით მეცნიერებებში, როგორებიცაა მაგალითად სიგნალების გადაცემა, მულტიპლექსირება, ფილტრაცია, გამოსახულების ამოცნობა, კოდირების თეორია, ციფრული სიგნალების კოდირება, გამოსახულების დამუშავება, ელექტრომაგნიტური ტალღების გავრცელება, დრეკადობის თეორია და სხვა. სხვადასხვა სახის სასაზღვრო ამოცანების გამოკვლევა კერძოწარმოებულიანი დიფერენცია¬ლური განტოლებებისათვის დაიყვანება ინტეგრალურ განტოლებებზე, რომლებიც ხშირად აღმოჩნდებიან კონვოლუციის ტიპის განტოლებები ლის ალგებრებზე. ასეთი მაგალითები ბოლო დრომდე იყო ფურიესა და მელინის ტიპის კონვოლუციის განტოლებები, რომლებიც წარმოადგენენ კონვოლუციბს ლის ალგებრებზე ნამდვილ რიცხვთა ღერძის და ნახევარღერძის სახით. ზოგიერთ ასეთ განტოლებას გააჩნია წყვეტილი სიმბოლოები, რაც წარმოადგენს ინტეგრალური განტოლების ბირთვის ფურიეს და მელინის გარდაქმნას ასეთი კონვოლუციის განტოლებების გამოკვლევის შედეგები გამოყენებული იქნა ბზარის ამოცანებისთვის ელასტიურ გარემოში, გაძლიერებული ფირფიტები, მაქსველის სისტემებში ჰელმჰოლცის განტოლებისათვის. (ელექტრომაგნიტური ტალღების გავრცელება), კოში-რიმანის სისტემებისათვის, კარლემან-ვეკუას სისტემებისათვის განზოგადოებულ ანალიზურ ფუნქციათა თეორიაში და სასაზღვრო ამოცანები კერძოწარმოებულიანი დიფერენციალური განტოლებისათვის ლიფშიცის საზღვრით და ა.შ. განვითარებულ იქნა ფურიესა და მელინის კონვოლუციის განტოლებათა თეორია ლებეგისა და ბესელის პოტენციალთა სივრცეებში. როგორც აღვნიშნეთ, ზემოთხსენებული კონვოლუციის განტოლებები შეიძლება განიმარტოს, როგორც კონვოლუცია ლის ალგებრებზე. |
| ხელმძღვანელი: | დუდუჩავა როლანდ |
| მონაწილეები: | ბარამიძე დავით,ბარამიძე ლაშა,ვაშაკიძე ზურაბ,თუთბერიძე გიორგი,თუთბერიძე მარგარიტა,ნადირაშვილი ნატო,ტეფნაძე გიორგი,ცაავა მედეა |
| საკითხის აქტუალობა: | მარტინგალური ჰარდის სივრცეების თეორიის განვითარებაზე მნიშვნელოვანი ზეგავლენა მოახდინა კლასიკურმა თეორიამ. უმეტესი განსხვავებები ამ ორ თეორიას შორის შეიძლება აიხსნას თანამედროვე ჰარმონიული ანალიზის მეშვეობით, რომელიც ანალოგიურ პრობლემებს განიხილავს ტოპოლოგიური ჯგუფის სტრუქტურის თვალთახედვიდან. ამ თვალთახვედვამ ხელი შეუწყო მარტინგალური ჰარდის სივრცეების ლოკალურად კომპაქტურ აბელის ჯგუფებზე გადატანას, რაც წარმოადგენს ახალ მიმართულებას, მაგრამ ის ასევე წარმოადგენს მნიშვნელოვან მოდელს, რომელზეც შეიძლება შემოწმდეს აბსტრაქტული ჰარმონიული ანალიზის ბევრი პრობლემა. ამის გამო, ძნელია გადააფასო აღნიშნულ თეორიაში მიღებული შედეგების შედარების მნიშვნელობა შედეგებთან, რომლებიც ცნობილია კლასიკურ ჰარდის სივრცეებისათვის. რამდენიმე ათწლეულის განმავლობაში ეს თეორია სწორედ ამ გზით ვითარდებოდა და მიღებული იქნა ბევრი ახალი შედეგი. უფრო მეტიც, მარტინგალური ჰარდის სივრცეების ზოგიერთი ახალი შედეგი ჯერ კიდევ გადაუჭრელი პრობლემაა კლასიკურ შემთხვევებში. ყოველივე ამის გათვალისწინებით ჩვენ წავალთ საპირისპირო მიმართულებით და შევეცდებით მარტინგალური ჰარდის სივრცეებისათვის მიღებული შედეგები გადავიტანოთ ჰარდის კლასიკურ სივრცეებში. უკანასკნელ წლებში ასევე აქტუალური გახდა ცვლადმაჩვენებლიანი მარტინგალური ჰარდის სივრცეები, რომლებზეც კვლევა აქტიურად მიმდინარეობს. აღმოჩნდა რომ პრაქტიკულად მნიშვნელოვანია კონვოლუციის განტოლებების გამოკვლევა სხვა ლის ჯგუფებზე, მაგალითად სასრულ მონაკვეთზე I=(-1,1), სასრული გაშლის კუთხეებში, პირამიდებში. ამ სიმრავლეებში შესაძლებელია განიმარტოს ჯგუფური ოპერაცია, დადგინდეს შესაბამისი ჰაარის ზომა, ფურიეს გარდაქმნა და კონვოლუციის ოპერატორი. მაგალითად, კონვოლუციის განტოლებებს სასრულ ინტერვალზე I=(-1,1) აღმოაჩნდათ გამოყენება და მათი საშუალებით ამოიხსნა ზუსტად ადრე ცნობილი პრანდტლის, ტრიკომის და ლავრენტიევ-ბიწაძის ინტეგრალური განტოლებები, სასაზღვრო ამოცანები დიფერენციალური განტოლებებისათვის, რომლებიც ადრე ამოხსნილი იყო მხოლოდ მიახლოებით. პროექტის ფარგლებში გამოკვლეული იქნება კონვოლუციის განტოლებები სხვადასხვა ლის ჯგუფებზე (უსასრულო კუთხეები, სასრული და უსასრულო პირამიდები, ჰეიზენბერგის ჯგუფები და სხვა), რათა აღიწეროს კონვოლუციის განტოლებების ახალი კლასი, რომლებიც საინტეერესოა მათემატიკური თვალსაზრისით და გამოყენებებში. ჩვენი მოზანია განვავითაროთ კონვოლუციის განტოლებათა ფრედჰოლმის თეორია, ამოხსნადობა და მივიროთ ამოხსნიის ზუსტი ფორმულები როდესაც ეს შესაძლებელია, აღვწეროთ ამოხსნადობის თვისებები. დადგინდება მიღებული განტოლებების საშუალებით კერძოწარმოებულიანი დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნადობა და ამოხსნის ფორმულები. შემოტანილი იქნება ბესელის პოტენციალთა ახალი სივრცეები, რომლებიც მორგებული იქნება ლის ჯგუფზე გამოკვლეუკი ინტეგრალური და დიფერენციალურ განტოლებათა ამოხსნადობაზე. |
| მოსალოდნელი სიახლე: | შესწავლილი იქნება ცვლადმაჩვენებილანი მარტინგალური ჰარდის სივრცეების უწყვეტობის მოდულის ტერმინებში ისეთი აუცილებელი და საკმარისი პირობები, რომლებიც უზრუნველყოფენ n-განზომილებიანი უოლშის და ტრიგონომეტრიული სისტემების მიმართ კერძო ჯამების და სხვადასხვა საშუალოების კრებადობას. გამოკვლეული იქნება მულტიპლიკატორების ბანახის ალგებრა პირველი გვარის წყვეტებით ლის ჯგუფებზე, რათა სასრული ვარიაციის მქონე მულტიპლიკატორებისთვის დამტკიცდეს სტეჩკინის და მიხლინ–ჰორმანდერის ტიპის უტოლობები, რომელიც მნიშვნელოვანია ლოკალიზაციისთვის ბანახის ალგებრებში. დამტკიცდება n-განზომილებიანი უოლშის და ტრიგონომეტრიული მწკრივების კერძო ჯამების და სხვადასხვა საშუალოების ახალი ძლიერად შეჯამებადობის თეორემები კლასიკურ და მარტინგალურ ჰარდის სივრცეებში, როგორც ცვლადმაჩვენებილანი ასევე მუდმივი პარამეტრის პირობებში. შესწავლილი იქნება სინგულარული ინტეგრალური ოპერატორების ანალოგები (კონვოლუციები უბან-უბან მუდმივი სიმბოლოებით), რათა გამოვიყენოთ ლოკალიზაციისთვის ბანახის ალგებრებში. დადგენილი იქნება სხვადასხვა საშუალოების მაქსიმალური ოპერატორების შემოსაზღვრულობის საკითხები კლასიკურ და მარტინგალურ ჰარდის სივრცეებში, როგორც ცვლადმაჩვენებილანი ასევე მუდმივი პარამეტრის პირობებში. შესწავლილი იქნება კონვოლუციის ოპერატორები ლის სხვადასხვა ჯგუფებზე, როგორიცაა სასრული ინტერვალი (–1,1), სასრული გაშლის კუთხე, სასრული და უსასრულო პირამიდა და სხვა. განმარტებული იქნება ადაპტირებული ბესელის პოტენციალთა სივრცეები და შესწავლილი იქნება ამ სივრცეებში კონვოლუციის და დიფერენციალური განტოლებები. |
| სავარაუდო გეგმა: | 2023 ცვლადმაჩვენებილანი მარტინგალური ჰარდის სივრცეების უწყვეტობის მოდულის ტერმინებში ვიპოვოთ ისეთი აუცილებელი და საკმარისი პირობები, რომლებიც უზრუნველყოფენ n-განზომილებიანი უოლშის და ტრიგონომეტრიული სისტემების მიმართ კერძო ჯამების და სხვადასხვა საშუალოების კრებადობას, 2023 გამოკვლეული იქნება -მულტიპლიკატორების ბანახის ალგებრა პირველი გვარის წყვეტებით ლის ჯგუფებზე, რათა სასრული ვარიაციის მქონე მულტიპლიკატორებისთვის დამტკიცდეს სტეჩკინის და მიხლინ–ჰორმანდერის ტიპის უტოლობები, რომელიც მნიშვნელოვანია ლოკალიზაციისთვის ბანახის ალგებრებში. 2024 დავამტკიცოთ n-განზომილებიანი უოლშის და ტრიგონომეტრიული მწკრივების კერძო ჯამების და სხვადასხვა საშუალოების ახალი ძლიერად შეჯამებადობის თეორემები კლასიკურ და მარტინგალურ ჰარდის სივრცეებში, როგორც ცვლადმაჩვენებილანი ასევე მუდმივი პარამეტრის პირობებში. 2024 შევისწავლით სინგულარული ინტეგრალური ოპერატორების ანალოგებს (კონვოლუციები უბან-უბან მუდმივი სიმბოლოებით), რათა გამოვიყენოთ ლოკალიზაციისთვის ბანახის ალგებრებში. 2025 დავადგინოთ სხვადასხვა საშუალოების მაქსიმალური ოპერატორების შემოსაზღვრულობის საკითხები კლასიკურ და მარტინგალურ ჰარდის სივრცეებში, როგორც ცვლადმაჩვენებილანი ასევე მუდმივი პარამეტრის პირობებში. 2025 შესწავლილი იქნება კონვოლუციის ოპერატორები ლის სხვადასხვა ჯგუფებზე, როგორიცაა სასრული ინტერვალი (–1,1), სასრული გაშლის კუთხე, სასრული და უსასრულო პირამიდა და სხვა. განმარტებული იქნება ადაპტირებული ბესელის პოტენციალთა სივრცეები და შესწავლილი იქნება ამ სივრცეებში კონვოლუციის და დიფერენციალური განტოლებები. |
| დონორი: | რუსთაველის ფონდი |
| გრანტი: | ფუნდამენტური კვლევები |
| სკოლა/დეპარტამენტი: | მათემატიკის ინსტიტუტი |
| დაწყება: | 2023-01-01 |
| დასრულება: | 2025-12-31 |
| მიზნობრიობა: | სამეცნიერო |
| სტატუსი: | მიმდინარე |
| შედეგი: | არ წარდგენილა |
| პროექტის ღირებულება: | 240 000 |
| პროექტის პირველადი ხარჯთაღრიცხვა: | 240 000 |
| პროექტის საბოლოო ხარჯთაღრიცხვა: | 240 000 |
| დონორისგან მიღებული თანხა: | |
| თანადამფინანსებელი: | |
| თანამშრომლობა/პარტნიორობა: | |
| პუბლიკაცია: | პროექტის ფარგლებში დაგეგმილია 6 სამეცნიერო ნაშრომის მომზადება და მაღალრეიტინგულ ჟურნალებში გამოქვეყნება |
