| პროექტის დასახელება: | ფეიერის და T საშუალოების კრებადობა და შეჯამებადობა ჰარდის მარტინგალურ სივრცეებში |
| მოკლე აღწერა: | ფურიეს მწკრივების კლასიკური თეორიისგან განსხვავებით, რომელიც ფუნქციას შლის უწყვეტ ტალღებად, უოლშის ფუნქციები წარმოადგენს "მართკუთხა ტალღებს". ასეთი ტალღები უკვე ხშირად გამოიყენება სიგნალთა გადაცემის თეორიაში, ფილტრაციის, გამოსახულების გაუმჯობესებისა და ციფრული სიგნალების დამუშავებისთვის. ამ თეორიის განვითარებაზე მნიშვნელოვანი გავლენა მოახდინა ჰარდის სივრცეების კლასიკურმა თეორიამ. არსებობს ბევრი მსგავსება ამ ორ თეორიას შორის, მაგრამ არსებობს განსხვავებებიც, რომელთა უმეტესობაც შეიძლება აიხსნას თანამედროვე აბსტრაქტული ანალიზის ენაზე, რომელიც ორთონორმირებულ სისტემებს შეისწავლის ტოპოლოგიური ჯგუფების თვალთახედვიდან. უოლშის სისტემა წარმოადგენს ისეთ, მნიშვნელოვან მოდელის მაგალითს, რომელზეც შეიძლება გადამოწმდეს და დაისვას უამრავი ჰარმონიული ანალიზის პრობლემა. უოლშის სისტემა იწვევს დიდ ინტერსს ორთონორმირებული სისტემების სპეციალისტებისთვისაც, რადგანაც ის წარმოადგენს შემოსაზღვრული, სრული, ორთონორმირებული სისტემის უმარტივეს მაგალითს. არსებობს უამრავი წიგნი, რომელშიც აღწერილია უოლშის ფუნქციების მრავალი გამოყენება. პრობლემატიკა, რომლის განხილვასაც ვგეგმავთ მიმდინარე პროექტის ფარგლებში, არის ცენტრალური მათემატიკურ ანალიზში. ისინი მოითხოვენ ტექნიკას, რომელიც უმეტესწილად განვითარდა უკანასკნელი სამი ათეული წლის განმავლობაში. ეს პროექტი არის ბუნებრივი გაგრძელება ორი წარმატებული წინა პროექტის PhD-18-476 და FR-19-676, რომელიც დაფინანსებულია შოთა რუსთაველის ეროვნული სამეცნიერო ფონდის მიერ. მიუხედავად იმისა, რომ ბევრ პრობლემას გაეცა პასუხი და 10 სამეცნიერო ნაშრომი უკვე გამოქვეყნებულია საერთაშორისო ჟურნალებში, კიდევ მრავალი მნიშვნელოვანი პრობლემაა დარჩენილი და წარმოიშვა სხვა, ახალი კითხვებიც. სწორედ ამიტომ, მსურს კვლევების გაგრძელება ამ თემატიკაში. პროექტი ორიენტირებული იქნება შემდეგი, მთავარი თემების კვლევაზე: • ერთგანზომილებიანი ვილინკინის სისტემის მიმართ ფეიერის საშუალოების ქვემიმდევრობების შემოსაზღვრულობა მარტინგალურ ჰარდის სივრცეებზე. • ერთგანზომილებიანი ვილინკინის სისტემის ფეიერის საშუალოების ქვემიმდევრობების შემოსაზღვრულობის პირობების პოვნა უწყვეტობის მოდულის დახმარებით მარტინგალურ ჰარდის სივრცეებზე. • მაქსიმალური ოპერატორებისა და საშუალოების წონიანი მაქსიმალური ოპერატორების შემოსაზღვრულობა მარტინგალურ ჰარდის სივრცეებზე. • საშუალოების ძლიერად კრებადობა მარტინგალურ ჰარდის სივრცეებზე. რა თქმა უნდა, არსებობს მნიშვნელოვანი კავშირი ამ საკითხებს შორის. საკვლევი მიზნების გათვალისწინებით, ფართოდ იქნება გამოყენებული ნამდვილი ანალიზის მეთოდები და ასევე აბსტრაქტული და არაწრფივი ჰარმონიული ანალიზი, აპროქსიმაციის თეორიასთან ერთად. სხვა კვლევის მეთოდები კი მოიცავს ფუნქციათა სივრცეების თეორიას. პროექტის ფარგლებში მიღებული იქნება ახალი და საინტერესო შედეგები. იგეგმება რამდენიმე სამეცნიერო სტატიის დაბეჭდვა პრესტიჟულ საერთაშორისო ჟურნალებში. |
| ხელმძღვანელი: | თუთბერიძე გიორგი |
| მონაწილეები: | |
| საკითხის აქტუალობა: | პრობლემატიკა, რომლსაც განვიხილავ მიმდინარე პროექტში, ერთ-ერთი მნიშვნელოვანი ადგილი უკავია მათემატიკურ ანალიზში. კლასიკური ორთონორმირებული სისტემების მიმართ ინტეგრებადი ფუნქციის ფურიეს მწკრივის სხვა და სხვა საშუალოებით შეჯამებადობის საკითხს დიდი ისტორია გააჩნია. ამ მიმართულებით მიღებული შედეგები არსებითად განსაზღვრავდნენ და ახლაც განსაზღვრავენ ფუნქციათა თეორიაში და ჰარმონიულ ანალიზში მთელი რიგი მიმართულებების პრობლემატიკას. დამტკიცებულია არაერთი შესანიშნავი შედეგი კვლევის ისეთ ახალ მიმართულებებში, როგორებიცაა ვეივლეტ ანალიზი, გაბორის თეორია, დროით-სიხშირული ანალიზი, ფურიეს სწრაფი გარდაქმნი, აბსტრაქტული ჰარმონიული ანალიზი და ა.შ. ამის ერთ-ერთი მნიშვნელოვანი მიზეზია ის, რომ ეს სამეცნიერო წინსვლა მნიშვნელოვანია არა მხოლოდ ამ თეორიების განსავითარებლად, არამედ მათი გამოყენების მხრივ მათემატიკაში, პროგრამირებასა და სხვადასხვა სფეროებში. ფურიეს მწკრივების კლასიკური თეორიიის გამოყენებით ფუნქციის იშლება უწყვეტ სინუსოიდურტალღებად. კლასიკური თეორიისგან განსხვავებით, ვილენკინის (უოლშის) ფუნქციები წარმოადგენენს "მართკუთხა ტალღებს". ასეთი ტალღები უკვე ხშირად გამოიყენება ფიზიკაში, ბიოლოგიაში, მედიცინაში, სიგნალთა გადაცემის თეორიაში, ფილტრაციის, გამოსახულების გაუმჯობესების და ციფრული სიგნალების დამუშავებისთვის. ამ მიმართულებების განვითარებისთვის მნიშვნელოვანი გახდა ახალი ორთონორმირებული სისტემების განხილვა, რომელთა შორის ერთ-ერთი აქტუალურია უოლშის სისტემა. ეს ფუნქციები ღებულობენ მხოლოდ ორ მნიშვნელობას, რაც აადვილებს თეორიული შედეგების კომპიუტერულ ალგორითმიზაციას და მათ პრაქტიკაში გამოყენებებს. ვილენკინ-ფურიეს მწკრივების თეორია წარმოადგენს აბსტრაქტული ჰარმონიული ანალიზის ერთ-ერთ მნიშვნელოვან მიმართულებას. ამ თეორიის განვითარებაზე ძლიერი გავლენა მოახდინა ტრიგონომეტრიული მწკრივების კლასიკურმა თეორიამ, სადაც შეისწავლება ორთონორმირებული სისტემები, რომელთა თვისებები ძირითადად განპირობებულია ტოპოლოგიური ჯგუფის სტრუქტურით. უოლშის სისტემა არის მნიშვნელოვანი მოდელი, რომელზეც შეიძლება აბსტრაქტული ანალიზის მრავალი ფუნდამენტალური დებულების ილუსტრირება. ამ პროექტის მიზანია განიხილოს, გამოიყენოს და განავითაროს ამ საინტერესო თეორიის უახლესი შედეგები, რომლებიც დაკავშირებულია თანამედროვე ჰარმონიულ ანალიზთან. კერძოდ, ჩვენ გამოვიკვლევთ ვილენკინ-ფურიეს მწკრივების H_p ნორმებისთვის ზოგიერთ ახალ ჰარდის ტიპის უტოლობებს. უფრო მეტიც, უწყვეტობის მოდულებისთვის დადგენილი იქნება ისეთი აუცილებელ და საკმარის პირობები, რომლებიც უზრუნველყოფენ ფეირის საშუალოების ქვემიმდევრობების ნორმით კრებადობას. გარდა ამისა, ჩვენ განვიხილავთ T საშუალებებს, რომლებიც ნორლუნდის შეჯამებადობის "შებრუნებული"არიან, მაგრამ მხოლოდ იმ შემთხვევაში, როდესაც მათი კოეფიციენტები არიან მონოტონური. ასევე დავამტკიცებთ, რომ ეს შედეგები განუზოგადებელია. ამ შედეგების გამოყენებით ასევე მივიღებთ ზოგიერთ კარგად ცნობილ და ახალ შედეგებს |
| მოსალოდნელი სიახლე: | წინამდებარე პროექტში, ჩვენ განვიხილავთ ჰარდის მარტინგალურ სივრცეებზე ოპერატორების შემოსაზღვრულობის საკითხებს. ჩვენი მიმართულების უმთავრესი თეორემა არის მარტინგალური ჰარდის სივრცეების დეკომპოზიცია. წინამდებარე პროექტის მოსალოდნელი შედეგებია: ა) ნაპოვნი იქნება აუცილებელი და საკმარისი პირობები დადებით რიცხვებზე {n_k:k>=0}, რომელთათვისაც f\in H_p მარტინგალის ვილინკინის სისტემის ფეიერის საშუალოები ამ ინდექსებით იქნებიან შემოსაზღვრული ჰარდის სივრცეებზე, როცა 0<p<1/2. ბ) ნაპოვნი იქნება აუცილებელი და საკმარისი პირობები f\in H_p მარტინგალის უწყვეტობის მოდულებისთვის, რომელთათვისაც ვილინკინის სისტემის ფეიერის საშუალოები შემოსაზღვრული იქნება ჰარდის სივრცეებზე, როცა 0<p<1 გ) დამტკიცებული იქნება T საშუალოების მაქსიმალი ოპერატორების შემოსაზღვრულობა ჰარდის სივრცეებზე, როცა 0<p<1 დ) დამტკიცებული იქნება T საშუალოების ძლიერად კრებადობა ჰარდის სივრცეებზე, როცა 0<p<1 |
| სავარაუდო გეგმა: | 2023 - ნაპოვნი იქნება აუცილებელი და საკმარისი პირობები დადებით რიცხვებზე {n_k:k>=0}, რომელთათვისაც f\in H_p მარტინგალის ვილინკინის სისტემის ფეიერის საშუალოები ამ ინდექსებით იქნებიან შემოსაზღვრული ჰარდის სივრცეებზე, როცა 0<p<1/2. 2024 - ნაპოვნი იქნება აუცილებელი და საკმარისი პირობები f\in H_p მარტინგალის უწყვეტობის მოდულებისთვის, რომელთათვისაც ვილინკინის სისტემის ფეიერის საშუალოები შემოსაზღვრული იქნება ჰარდის სივრცეებზე, როცა 0<p<1 2025 - დამტკიცებული იქნება T საშუალოების მაქსიმალი ოპერატორების შემოსაზღვრულობა da ძლიერად კრებადობა ჰარდის სივრცეებზე, როცა 0<p<1. |
| დონორი: | |
| გრანტი: | |
| სკოლა/დეპარტამენტი: | მათემატიკის ინსტიტუტი |
| დაწყება: | 2023-01-01 |
| დასრულება: | 2025-12-31 |
| მიზნობრიობა: | სამეცნიერო |
| სტატუსი: | მიმდინარე |
| შედეგი: | |
| პროექტის ღირებულება: | |
| პროექტის პირველადი ხარჯთაღრიცხვა: | |
| პროექტის საბოლოო ხარჯთაღრიცხვა: | |
| დონორისგან მიღებული თანხა: | |
| თანადამფინანსებელი: | |
| თანამშრომლობა/პარტნიორობა: | |
| პუბლიკაცია: | იგეგმება სამი სამეცნიერო პუბლიკაციის გაგზავნა მაღალ რეიტინგულ ჟურნალში დასაბეჭდად |
