| პროექტის დასახელება: | მოძრავი მანიფოლდები |
| მოკლე აღწერა: | უჯრედის ფორმის დინამიკის ძირითადი ფიზიკური პრინციპების მოძიება რთული პრობლემაა. მიუხედავად იმისა რომ დინამიკა რთული პრობლემაა, ჰელფრიჩის ფორმალიზმისა და მასთან დაკავშირებული ფორმის განტოლების განვითარებით პრობლემა თითქმის ამოხსნილ იქნა სტაციონარული ან სტაციონარული ფორმის ახლოს მყოფი ზედაპირებისათვის. ფორმის განტოლებები გამოყვანილი იქნა სტანდარტული დიფერენციალური გეომეტრიით და არ საჭიროებდა ახალი მათემატიკურ ფორმალიზმს მოძრავი ზედაპირებისათვის. ზედაპირების დინამიკის მოძრაობის განტოლებებმა გაუძლეს დროის მიმდინარეობას და შესაბამისად უჯრედების ფორმის დინამიკა დარჩა ამოუხსნელ პრობლემად. ჩვენ ეხლახანს ამოვხსენით დინამიკის პრობლემა გამოვიყვანეთ რა ზუსტი მოძრაობის განტოლებები ორ და სამ განზომილებიანი ზედაპირებისათვის. განტოლებები შესაძლებელია მარტივად განზოგადდეს ნებისმიერი განზომილების ზედაპირებისათვის. მოძრაობის განტოლებებით, ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ ფორმის განტოლება არის ჩვენი განტოლების დაახლოებითი ამოხსნა სტაციონარულ ფორმებთან ახლოს მყოფი მაღალ ინერტული სისტემებისათვის, მაშინ როცა მუდმივი სიმრუდის მქონე ფორმები არიან წონასწორული ფორმები. განტოლებები უნივერსალურად სამართლიანია ნებისმიერი (ატომური, მოლეკულური, მიკრო ან მაკრო ზომის, რეალური ან ვირტუალური, რიმანის ან ფსევდო რიმანის, აქტიური ან პასიური) ზედაპირებისათვის. განტოლებები განაპირობებენ აღმოჩენებს არამარტო ბიოფიზიკაში, არამედ მნიშვნელოვნად აღრმავებენ კლასიკური ფიზიკის გაგებას. აღსანიშნავია რომ ჩვენი კონცეფციის თვალსაზრისით მაქსველის ელექტროდინამიკა, ეილერის სითხის დინამიკა, პუასონ-ბოლცმანის თეორია და მაგნეტო-ჰიდროდინამიკა ერთიანდება ერთ ფუნდამენტურ ჩარჩოში. ჩვენ მიზანია გამოვიყენოთ ზედაპირების მოძრაობის განტოლებები წვეთების ფორმების დინამიკისათვის და ვაჩვენოთ რომ არაწრფივი ფორმების დინამიკა იწვევს დიფუზიური ფენის არაწრფიფ და აპერიოდულ გასქელებას, რაც მემბრანების ფორმირების უჯრედების გაყოფის მსგავსია და შეიძლება განიხილებოდეს როგორც სიცოცხლის დასაწყისი. პროექტში ვაპირებთ განტოლებების გამოყენებას სხვადასხვა პრობლემების გადასაწყვეტად. როგორიცაა: კელვინის განტოლების განზოგადება ნებისმიერად გამრუდებული ზედაპირებისათვის ნანო მაშტაბებზე ან მოლეკულურ ზედაპირებზე. ჩვენ ვაჩვენებთ რატომაა გავრცელებული სპირალური ზედაპირები ცილებსა და ნუკლეინის მჟავეებისათვის. აგრეთვე რატომაა წონასწორული ფორმები მუდმივი საშუალო სიმრუდის და რა განსაზღვრავს უჯრედების ფორმების დინამიკას. |
| ხელმძღვანელი: | დუდუჩავა როლანდ |
| მონაწილეები: | ბუჩუკური თენგიზ,ტეფნაძე გიორგი |
| საკითხის აქტუალობა: | აინშტაინის ფარდოფითობის ზოგადი თეორიის აღმოჩენის შემდეგ სივრცე-დროის გეომეტრია გახდა მეცნიერების ძირითადი ფუნდამენტური იდეების წყარო. მიუხედავად იმისა რომ დიდი ყურადღება დაეთმო სივრცე დროის გეომეტრიის კვლევას, ცოცხალი ორგანიზმების გეომეტრიული მრავალფეროვნება დარჩა ამოუხსნელ პრობლემად. პრობლემა მარტივად ჟღერს: რა განსაზღვრავს ცოცხალი ორგანიზმების მორფოლოგიურ მრავალფეროვნებას, თუ ცნობილია რომ, ფუნდამენტურ ფიზიკის დონეზე მათი წარმოქმნის მექანიზმები ერთიდაიგივე უნდა იყოს. ამ პრობლემის ამოხსნის მცდელობამ ბევრ აღმოჩენამდე მიიყვანა ბიოფიზიკოსები, მათ შორისაა სტატიკური ფორმების განტოლება. ფორმების განტოლება მეოთხე რიგის არაწრფივი/არაორდინალური დიფერენციალური განტოლებაა, რომელიც რჩება ანალიზურად ამოუხსნელად. თუმცა, ფორმის განოტლება, როგორც ჩვენ მოგვიანებით ვაჩვენეთ, არის არაზუსტი და სამართლიანია მხოლოდ სტატიკური ფორმებისათვის [1, 2]. მოძრავი ფორმების ზუსტი განტოლებები არ იყო ცნობილი. მოძრავი ფორმების განტოლებიბის გამოსაყვანად დიფერენციალური გეომეტრია აღმოჩნდა არასაკმარისი და საჭიროებდა განზოგადებას. ეს განზოგადება ცნობილი გახდა ბოლო ათწლეულის განმავლობაში და დღესდღეობით გავრცელებულია მოძრავი ზედაპირების კალკულუსის სახელით. ჩვენ ვიყენებთ მოძრავი ზედაპირების კალკულუსს და გამოგვყავს სამ და ორ განზომილებიანი ზედაპირების მოძრაობის ზოგადი განტოლებები [1, 2], რითაც ვაჩვენებთ რომ, ნებისმიერი ზედაპარი გარემოსთან მექანიკური წონასწორობის პირობებში, იღებს მუდმივი საშუალო სიმრუდის ფორმას. ყველაზე ცნობილი მუდმივი საშუალო ფორმებიდან არის სიბრტყე, ცილინდრი და სფერო. აქედან გამომდინარე სულაც არ არის გასაკვირი თუ რატომაა ასე ხშირი სპონტანურად წარმოქმნილი სფეროების, ბრტყელი ზედაპირების ან ცილინდრული ფორმების ყოველდღუირ ცხოვრებაში დამზერა (წვიმის წვეთები, მიცელები, საპნის ბუშტები და ა.შ.). ამ განტოლებების გამოყენებით შეიძლება ეფექტურად აიხსნას მაკრომოლეკულების კონფორმაციული დინამიკა, უჯრედების ფორმების მრავალფეროვნება და დინამიკა, ქსოვილების და ორგანოების ფორმის ცვლილებით მოძრაობა, წვეთების დინამიკა [3] და ა.შ (აგრეთვე იხილეთ კონფერენციის აბსტრაქტები [4-7]). ფუნდამენტური ფიზიკის თვალსაზრისით ეს განტოლებები აერთიანებს და ანზოგადებს ელექტროდინამიკის და სითხეების დინამიკის კონცეფციებს [1]. უჯრედები განუწყვეტლივ მოძრაობენ: იცვლებიან, იზრდებიან და მიგრირებენ ახალ ტერიტორიებზე - მაგალითად: რათა შეახორცონ ჭრილობა ან დაიჭირონ ინფექციური აგენტები იმუნური პასუხის შედეგად. მაგრამ, როგორ მოძრაობენ უჯრედები? თუ მხედველობაში მივიღებთ რომ უჯრედები მოძრაობენ ფორმის ცვლილებით კითხვა შეიძლება ესე ჩამოყალიბდეს: იპოვეთ ფორმის ცვლილების მოძრაობის განტოლებები. ისევე როგორც უჯრედები, ბიოლოგიური სისტემები ხასიათდებიან მორფოლოგიური მრავალფეროვნებით და მოძრაობისას განიცდიან შესამჩნევ ფორმის დეფორმაციებს. ფორმების ასეთი „ქორეოგრაფია“ დამახასიათებელია არამხოლოდ 2 | დანართი №3 ყველა ცოცხალი ორგანიზმისთვის [8] არამედ ცილებისთვის, ნუკლეინის მჟავეებისათვის და ყველა ბიომაკრომოლეკულისათვის საზოგადოდ. ფორმების მოძრაობა, რაც ორ განზომილებიანი ზედაპირების მოძრაობაა, შეიძლება მიმდინარეობებდეს აქტიურად (ენერგიის მოხმარებით) ან პასიურად (ენერგიის გარეშე). ფორმების დინამიკის დროის სიდიდეები შეილება ცვალებადობდეს ნელიდან (ნანომეტრი ნანოწამში) ძალიან სწრაფამდე (ნანომეტრი ფეფტოწამში) [9, 10]. ნელად მოძრავი ზედაპირები შეიძლება მიჩნეულნი იქნან როგორც ზედმეტად ინერტული სისტემები. ასეთი სისტემის მაგალითია უჯრედის მოძრაობა და შესაძლებელია ჰელფრიჩის ფორმალიზმის გამოყენება ფორმების დინამიკის აღსაწერად, სადაც თავისუფალი ენერგიის სიმრუდის ტენზორით მწკრივად გაშლა საშუალებას იძლევა დაახლოებით დაახასიათო მემბრანები [11]. თუმცა ჰელფრიჩის ფორმალიზმი [11] სამართლიანია მხოლოდ ნელა მოძრავი და მცირე დეფორმაციების მქონე ზედაპირებისათვის. ცილების ან დნმ-ს ზედაპირული დინამიკა შეიძლება აღწევდეს ნანომეტრი/ფეფტოწამი სიდიდეს [9, 10] და უჯრედები შეიძლება მოძრაობდეს დიდი დეფორმაციებით, სადაც ჰელფრიჩის ფორმალიზმის გამოყენებადობა შეზღუდულია. შესაბამისად ზედაპირები შეიძლება მოდელირდეს როგორც სამ განზომილებიანი ფსევდო რიმანული ზედაპირები. ჩვენ გამოგვყავს სრულიად ზოგადი მოძრაობის განტოლებები ორ და სამ განზომილებიანი მანიფოლდებისათვის [1, 2] და ვეძებთ გამოყენებას სხვადასხვა პრობლემების ამოსახსნელად. მაგალითად როგორიცაა: კელვინის განტოლების განზოგადება ნებისმიერად გამრუდებული ზედაპირებისათვის [12] და უჯრედების მოძრაობა. ჩაჭერილ გეომეტრიებში კაპილარული კონდესირება კარგად აღიწირება თერმოდინამიკის კანონებით, რომელთა შორისაა კელვინის განტოლებაც, მაგრამ განტოლების გამოყენებადობა ნანომასშტაბებზე ნებისმიერად გამრუდებული ზედაპირებისათვის ჯერკიდევ ამოუხსნელი პრობლემაა. ბოლო წლების ექსპერიმენტებმა აჩვენეს რომ კელვინის განტოლება სამართლიანია ნანომასშტაბებზე, მაგრამ მისი განზოგადება ნებისმიერად გამრუდებული ზედაპირებისათვის დარჩა ამოუხსნელ პრობლემად [13]. ზედაპირების დინამიკის პრობლემის ამოხსნით ჩვენ ვხსნით კელვინის განტოლების განზოგადების პრობლემასაც [12]. მართლაც, როგორც ჩვენ ამ პროექტში ვაჩვენებთ, სტატიკური ზედაპირებისათვის მოძრაობის განტოლებების გამოყენებით და ზედაპირული წნევის მოდელირებით პრობლემა თითქმის ტრივიალურად იხსნება და კიმ-ის ჯგუფის მიერ მიღებულ ეხპერიმენტულ შედეგებს [13]. უჯრედის მოძრაობის მოდელირებისას დიდი ყურადღება დაეთმო მემბრანების დინამიკას, სადაც მნიშვნელოვანი პროგრესი იქნა მიღწეული. ლიპიდების თვით აწყობად სისტემებში გეომეტრიული შეზღუდვები გამოვლენილი იქნა თერმოდინამიკის, ურთიერთქმედების თავისუფალი ენერგიის და გეომეტრიის დაკავშირებით [14, 15]. ჰელფრიჩის ფორმალიზმმა საფუძველი ჩაუყარა დიფერენციალურ გეომეტრიულ აღწერას, სადაც მემბრანების პოტენციური ენერგიის სიმკვრივე მიჩნეულ იქნა როგორც სტატიკური სიმრუდის ფუნქცია [11, 16-18]. მოდელი განვითარდა ძალის მომენტების შენახვის კანონის დამატებით [19, 20]. სპეციფიური დინამიური განტოლებები რომლებიც ითვალისწინებდა ელექტროდინამიკურ და გეომეტრიულ ეფექტებს აგრეთვე გახდა ცნობილი [21-23]. მეტიც აქტიური მემბრანების თეორიამ, გარე ძალების დამატებით, გააფართოვა პასიური მემბრანების შემეცნება [24-27]. მნიშვნელოვანი შედეგი მემბრანული თეორიის განვითარებისა [16-18] იყო ის რომ, მემბრანების ფიზიკური ქცევა მემბრანის სისქის შესაბამის მანძილებზე, შესაძლებელია გამოხატული იქნას გეომეტრიული ჰამილტონიანით [11, 28, 29]. ჰამილტონიანთან ასოცირებული ეილერ-ლაგრანჟის განტოლებები [30, 31], ეგრედწოდებული ფორმის განტოლებები, არიან მეოთხე რიგის არაწრფივი დიფერენციალური განტოლებები და მათი ზოგადი ანალიზური ამოხსნის პოვნა რთული პრობლემაა, თუმცა იქნა ანალიზურად [32] და რიცხობვრივად [33-40] ამოხსნილი სხვადასხვა სპეციფიურ შემთხვევებში [41, 42]. ასეთი წარმატების მიუხედავად ზოგადი ფორმების მოძრაობის განტოლებები არ იყო ცნობილი. ჩვენ გამოვიყვანეთ ფორმების მოძრაობის განტოლებები [1-7, 12] და ვაპირებთ უჯრედის ფორმების დინამიკის შესასწავლად გამოყენებას და დიფერენციალური გეომტრიის გაფართოებას გიუნტერის წარმოებულებში. პროეკტი მაღალ ინტერდისციპლინურია ვინაიდან კვეთავს თეორიული ფიზიკის, დიფერენციალური გეომეტრიის, ბიოლოგიის და ქიმიის საზღვრებს და გააჩნია პრაქტიკული გამოყენების პოტენციალი ყველა ამ დისციპლინაში. |
| მოსალოდნელი სიახლე: | სითხეების დინამიკაში მატერიალური წერტილები შეიძლება ჩაითვალოს, როგორც გეომეტრიული ფიგურების წვეროები, ხოლო ვირტუალური ზედაპირები შეიძლება ჩაითვალოს, როგორც ვირტუალური ფენები და ასეთი ფიგურების ან ზედაპირების მოძრაობის განტოლებები შესაძლებელია გამოყვანილი იქნას. ჩვენ ამ ფორმალიზმს ვუწოდებთ დიფერენციალური ზედაპირების ვარიაციას [1, 2] და გამოგვყავს აბსოლიტურად ზოგადი მოძრავი მანიფოლდების განტოლებები. ამ განტოლებების გამოყენებით ჩვენ შეგვიძლია ამოვხსნათ არამარტო ფორმების ქორეოგრაფიის პრობლემა, არამედ კელვინის განტოლების განზოგადების და წვეთების ფორმების დინამიკის პრობლემებიც. ყველა ამ პრობლემას გააჩნია დიდი ისტორია და სირთულიდან გამომდინარე არ იქნა ამოხსნილი 3 | დანართი №3 დიდი დროის განმავლობაში. სასურველი შედეგის მისაღწევად პროექტის მიმდინარეობას ვყოფთ სამ პერიოდად (იხილეთ სექცია 4, პროექტის იმპელემნტაცია). პირველ პერიოდში ჩვენ გადავწერთ მოძრავი ზედაპირების კალკულუსს გიუნტერის წარმოებულებში და თანადროულად შევისწავლით განტოლებების სხვადასხვა გამარტივებებს და შევეცდებით გამრტივებული განტოლებების რიცხობრივ და ანალიზურ (თუ შესაძლებელია) ამოხსნებს. მეორე პერიოდში, განვითარებული დიფერენციალური გეომეტრიის გამოყენებით ჩვენ გადავწერთ ზედაპირების მოძრაობის განტოლებებს გიუნტერსი წარმოებულებში და შევეცდებით გამოვიყვანოთ ზოგადი კანონები, როგორიცაა კელვინის განტოლება ნებისმიერად გამრუდებული ზედაპირისათვის და სხვა კანონები, რომლებიც შეიძლება ხშირად გამოიკვეთოს პროექტის პროგრესირების დროს. მაგალითისათვის, ტენზორული კალკულუსის გამოყენებით ჩვენ უკვე ვაჩევენეთ რომ განტოლებები მარტივდება მაქსველის ელექტროდინამიკამდე, ნავიერ-სტოკსის სითხეების დინამიკამდე და პუასონ-ბოლცმანის თეორიამდე [1]. იუნგ-ლაპლასის კანონი არის წონასწორულ მდგომარეობებში განტოლებების ამოხსნა [1, 2] და ჰელფრიჩის ფორმის განტოლება არის სტაციონარულ მდგომარეობებში მოძრაობის განტოლებების ამოხსნა [2]. მესამე პერიოდში ჩვენ ვაპირებთ გამოვიყენოთ მოძრაობის განტოლებები უჯრედების დინამიკის აღსაწერად. ამ შემთხვევაში ჩვენ დაგვჭირდება უჯრედის ჩონჩხის მოდელირება და მისი გათვალსიწინება ზედაპირულ წნევების მოდელირებაში. კონკრეტულად, ჩვენ გავარკვევთ, თუ როგორ შეიძლება უჯრედის ჩონჩხისა და უჯრედის მემბრანის სპეციფიკის გათვალისწინება ზედაპირული წნევის მოდელირებაში და როგორ შეიძლება მისი გაფართოება ზედაპირულ დაძაბულობებზე. ამ სამი პერიოდიდან მხოლოდ მესამე პერიოდთან დაკავშირებული პრობლემები მიგვაჩნია შედარებით რთულად, რადგან ამ მიმართულებით ჯერ არ გვიმუშავია. თუმცა, სირთულეების შემთხვევაში, ჩვენ ვეცდებით ვითანამშრომლოთ ჯგუფებთან, რომლებმაც უკვე მიაღწიეს გარკვეულ წარმატებას უჯრედულ მოძრაობაზე უჯრედის ჩონჩხის გავლენის მოდელირებაში [43]. მათემატიკური ნაწილისთვის ჩვენ გამოვიყენებთ სამ პერიოდს განტოლებების გიუნტერის წარმოებულებში გადასაწერად. ამისათვის ჩვენ გადავწერთ დიფერენციალურ გეომეტრიას და ზედაპირის მოძრაობის კალკულუსს გიუნტერის სამკუთხა სქემებში (პირველი პერიოდი), გავამარტივებთ განტოლებებს სხვადასხვა ფიზიკური პრობლემისთვის (მეორე პერიოდი) და მიღებული განტოლებებისათვის შევისწავლით რიცხვით გამოთვლებს ამოხსნილი მოძრავი ზედაპირების გრაფიკულ ილუსტრაციასთან ერთად. მოძრაობის განტოლებების რიცხვითი ამოხსნები და გრაფიკული ილუსტრაციები მნიშვნელოვნად გაზრდის ჩვენს გაგებას იმის შესახებ, თუ როგორ მოძრაობს უჯრედი და ხელს შეუწყობს წყლის წვეთებიდან სიცოცხლის წარმოშობის შემეცნებას. გიუნტერის წარმოებულებში განტოლების გადაწერა საშუალებას მოგვცემს შემოგთავაზოთ მოძრავი ზედაპირების დიფერენციალური გეომეტრიის კალკულუსის ახალი, ალტერნატიული განვითარება. მეთოდოლოგია: ფორმების დინამიკის შესასწავლად, კარგად შესწავლილი სითხეების დინამიკის (ან ნავიერ- სტოკსის დინამიკის) ნაცვლად, ვიყენებთ ბოლო დროს განვითარებულ მოძრავი ზედაპირების კალკულუსს [44]. სიმარტივისათვის, ჩვენ განვიხილავთ ჩაკეტილი ორ განზომილებიანი ზედაპირების დინამიკას, რომელიც ექვედებარება მოძრაობის ზოგად განტოლებებს [1, 2]. |
| სავარაუდო გეგმა: | ა) განტოლებების გამარტივება და რიცხვითი ამხსნებისათვის მომზადება 1) სპეციალური ამოცანის იდენტიფიცირება 2) განტოლებების გამარტივება შესაბამისად 3) გამარტივებული განტოლების ამოხსნა ანალიზურად და რიცხობრივად 4) მოძრავი ზედაპირების დიფერნციალური გეომეტრიის გადაწერა გიუნტერის წარმოებულებში. ბ) კელვინის განტოლების განზოგადება ნანო მაშტაბებში ნებისმიერად გამრუდებული მოლეკულური ზედაპირებისათვის 1) კელვინის განტოლების განზოგადების გამოყვანა და მისი შედეგობრივი განტოლებების მიღება 2) ექსპერიმენტული დადასტურებისათვის კოლაბორაციის მოძიება 3) ფუნდამენტური ზედაპირის მოძრაობის განტოლებების გადაწერა გიუნტერის წარმოებულებში ბ) უჯრედების ფორების დინამიკა 1) უჯრედული მემბრანების კომპლექსურების გათვალისწინება 2) უჯრედების ზედმეტად დაჭიმულობის ბუნების შესწავლა 3) უჯრედის ჩონჩხის გავლენის შესწავლა ფორმების დინამიკაზე 4) უჯრედის ზედაპირის წნევის მოდელირება შესაბამისად 5) ფუნდამენტური და გიუნტერის ფორმაში მოძრაობის განტოლებების გამარტივება 6) მიღებული განტოლებების რიცხობრივი ამოხსნა და მათი ვიზუალური წარმოდეგენა |
| დონორი: | რუსთაველის ფონდი |
| გრანტი: | ფუნდამენტური კვლევები |
| სკოლა/დეპარტამენტი: | მათემატიკის ინსტიტუტი |
| დაწყება: | 2023-01-01 |
| დასრულება: | 2025-03-01 |
| მიზნობრიობა: | სამეცნიერო |
| სტატუსი: | მიმდინარე |
| შედეგი: | დაფინანსდა |
| პროექტის ღირებულება: | 240 000 |
| პროექტის პირველადი ხარჯთაღრიცხვა: | 240 000 |
| პროექტის საბოლოო ხარჯთაღრიცხვა: | 240 000 |
| დონორისგან მიღებული თანხა: | 240 000 |
| თანადამფინანსებელი: | |
| თანამშრომლობა/პარტნიორობა: | |
| პუბლიკაცია: | 6 მოხსენების გაკეთება თბილისსა და საქართველოს რეგიონებში. |
